Question

Por favorzinho alguém resolve pra mim cos(senx) > 0

Answer 1

Queremos encontrar todos os valores reais de x que satisfazem a inequação trigonométrica

$\sf cos\:\!\big(sen\:\!(x)\big)>0$

Sendo assim, vamos relembrar que, para x pertencente ao intervalo aberto ]– π/2, π/2[, a função f(x) = cos(x) assume apenas valores positivos, ou seja:

$\sf x\,\in\,\bigg]\!\!-\dfrac{\pi}{2}\ ,\: \dfrac{\pi}{2}\bigg[\quad \implies\quad cos\:\!(x)>0\qquad(i)$

Em seguida, lembre-se também que a imagem da função g(x) = sen(x) de domínio real é o intervalo fechado [– 1, 1], isto é, – 1 ≤ sen(x) ≤ 1, para todo x real. Devido a isso, é verdade que

$\sf -\dfrac{\pi}{2}<-\dfrac{2}{2}\,\leq sen\:\!(x)\leq \dfrac{2}{2}<\dfrac{\pi}{2}\quad \implies\quad -\dfrac{\pi}{2}< sen\:\!(x)<\dfrac{\pi}{2}$

, provando, assim, que sen(x) sempre resultará em valores pertencentes a ]– π/2, π/2[. Portanto, com base em (i) e na dupla desigualdade obtida acima (referente ao seno), podemos escrever:

$\sf sen\:\!(x)\,\in\,\bigg]\!\!-\dfrac{\pi}{2}\ ,\: \dfrac{\pi}{2}\bigg[\quad \implies\quad cos\:\!\big(sen\:\!(x)\big)>0\qquad(ii)$

Como vimos, o antecedente da implicação (ii) é verdadeiro para qualquer argumento real x. Por esta razão, o consequente f(g(x)) = cos(sen(x)) > 0 também é verdadeiro para todo valor real atribuído a x. Logo:

$\large\boxed{\sf cos\:\!\big(sen\:\!(x)\big)>0\: ,\, \forall\,x\,\in\,\mathbb{R}}$

Resposta: a inequação trigonométrica cos(sen(x)) > 0 é satisfeita para todo x ∈ ℝ.