Question

Por favor socororooooo
01 ) Considere o feixe de retas do plano que passam pelo ponto 3,1) e cortam os eixos coordenados em pontos (0,y)(0,y) e (x,0)(x,0), com x > 0x>0 e y > 0y>0. Use semelhança de triângulos (veja figura abaixo) para calcular a área (A=xy/2) do triângulo determinado em função da variável x.

02) Usando a expressão obtida no exercício anterior, determine a equação da reta do feixe que determina triângulo de área mínima.

Answer 1

Questão 1) 

Considere a imagem abaixo.

Os triângulos ΔABF e ΔBCD são semelhantes.

Sendo AF = y - 1, FB = 3, BD = 1 e CD = x - 3, temos que:

$\frac{AF}{FB} = \frac{BD}{CD}$
$\frac{y-1}{3} = \frac{1}{x-3}$
$y-1= \frac{3}{x-3}$
$y = \frac{3}{x-3} +1$
$y= \frac{x}{x-3}$

Portanto, a área do triângulo, em função de x é:

$A = \frac{x. \frac{x}{x-3} }{2}$
$A= \frac{x^2}{2(x-3)}$

Alternativa correta: letra d).

Questão 2)

Para calcularmos a área mínima, precisamos derivar a função encontrada anteriormente.

Para isso, utilizaremos a regra do quociente:

$A'= \frac{2x(2x-6)-x^2.2}{(2x-6)^2}$
$A'= \frac{2x^2-12x}{(2x-6)^2}$

Igualando a derivada a 0:

$\frac{2x^2-12x}{(2x-6)^2}=0$
2x² - 12x = 0
2x(x - 6) = 0
x = 0 ou x = 6

Portanto, a área mínima é: $A_{min}= \frac{6^2}{2.6-6} = \frac{36}{6} = 6$

Assim, o feixe de reta procurado é o da letra c) pois:

x = 0 → y = 2 ∴ (0,2)
y = 0 → x = 6 ∴ (6,0)

A área será: $\frac{2.6}{2} = 6$