Question

Por Favor se puder racionalizar essa fração de 4 sobre raiz cúbica de 2 menos raiz cúbica de 4 e explicar passo-a-passo agradeço muito.$\frac{4}{\sqrt[3]{2} -\sqrt[3]{4} }$

Answer 1

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Chamemos, à guisa de facilitar nossa fatoração, $\sqrt[3]{2} = x$ e $\sqrt[3]{4} = y.$

Uma fatoração muito importante, e que facilitará muito essa racionalização, é aquela chamada de diferença de cubos, dada pelo seguinte:

$x^{3} - y^{3} = (x - y)(x^{2} + xy + y^{2})$

Utilizaremos essa fatoração porque temos raízes cúbicas no denominador. Para chegarmos a ela, vamos multiplicar os dois "membros" da fração por (x² + xy + y²), uma vez que já temos x - y no denominador. Assim:

$\frac{4\cdot(x^{2}+xy+y^{2})}{(x - y)(x^{2} + xy + y^{2})} = \frac{4\cdot ...}{x^{3} - y^{3}}$

Veja que conseguimos chegar a x³ - y³. Como tínhamos nomeado duas raízes cúbicas de x e y, o cubo de x e y serão os próprios radicandos ("números dentro das raízes) ou seja, x³ - y³ = 2 - 4 = - 2.

$\frac{4 \cdot ...}{- 2} = -2 (x^{2} + xy + y^{2}) = - 2 (\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{4} = - 2 (\sqrt[3]{8} (= 2) + \sqrt[3]{4} (1 + \sqrt[3]{4})) = - 4 -2 \sqrt[3]{4} (1 + \sqrt[3]{4} ) = -2\sqrt[3]{4} - 4 - 4\sqrt[3]{2}$