Question

Por favor resolva sem usar prostaferese: senx = sen(π/9 - x).

Answer 1

A equação sen(x) = sen(π/9 – x) é um tipo de equação trigonométrica fundamental, ou seja, ela é equivalente à equação sen(α) = sen(β) (igualdade entre senos) para α = x e β = π/9 – x. Da trigonometria circular, lembre-se que dois arcos quaisquer α (alfa) e β (beta) têm o mesmo seno se, e só se, possuem a mesma imagem no ciclo (são côngruos) ou tem imagens simétricas em relação ao eixo dos senos (são suplementares). Matematicamente, a referida igualdade de senos é expressa da seguinte forma:

$\mathsf{sen(\alpha)=sen(\beta)}\ \ \iff\ \ \begin{cases}\mathsf{\alpha=\beta+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\\\\ \mathsf{ou}\\\\ \mathsf{\alpha=\pi-\beta+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\end{cases}$

Baseando-se no resultado acima, basta fazer α = x e β = π/9 – x em sen(α) = sen(β), e depois manipular algebricamente as duas equações que resultarão a partir desta igualdade. Sendo assim, ficaremos com:

$\mathsf{sen(x)=sen\bigg(\dfrac{\pi}{9}-x\bigg)}\ \ \iff\ \ \begin{cases}\mathsf{x=\dfrac{\pi}{9}-x+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\ \ \ \ (i)}\\\\ \mathsf{ou}\\\\ \mathsf{x=\pi-\bigg(\dfrac{\pi}{9}-x\bigg)+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\ \ \ \ (ii)}\end{cases}$

De (i), temos:

$\mathsf{\qquad\quad \ \ x=\dfrac{\pi}{9}-x+2k\pi}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ x+x=\dfrac{\pi}{9}+2k\pi}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ 2x=\dfrac{\pi}{9}+2k\pi}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ \dfrac{\diagup\!\!\!\!2x}{\diagup\!\!\!\!2}=\dfrac{\frac{\pi}{9}}{2}+\dfrac{\diagup\!\!\!\!2k\pi}{\diagup\!\!\!\!2}}\\\\\\ {\iff\ \ \ \boxed{\mathsf{x=\dfrac{\pi}{18}+k\pi}}$

, sendo k um inteiro arbitrário.

E de (ii):

$\mathsf{\qquad\quad\ \ x=\pi-\bigg(\dfrac{\pi}{9}-x\bigg)+2k\pi}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ x=\pi-\dfrac{\pi}{9}+x+2k\pi}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ x-x=\dfrac{9\pi}{9}-\dfrac{\pi}{9}+2k\pi}}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ 0=\dfrac{8\pi}{9}+2k\pi}}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ \pi\left(\dfrac{8}{9}+2k\right)=0}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ 2k=-\dfrac{8}{9}}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \ k=-\dfrac{4}{9}\: \notin\: \mathbb{Z}}$

Como vimos anteriormente, k é um número inteiro. Por este motivo, a equação (ii) não fornece nenhuma solução para sen(x) = sen(π/9 – x), restando apenas a solução x = π/18 + kπ de (i).

Resposta:  

$\mathsf{S=\bigg\{x\,\in\,\mathbb{R}:\: x=\dfrac{\pi}{18}+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\bigg\}.}$