Question

Por favor, resolução da letra L

Answer 1

Olá Camila, vamos usar um artifício para resolver esse limite. Lembrando que não podemos usar substituição direta porque teríamos que dividir por zero, o que não existe, é indeterminado.

$\lim_{x \to \ -1} \frac{\sqrt{x+5}-2}{x+1} \\ \\ \lim_{x \to \ -1} \frac{\sqrt{x+5}-2}{x+1} . \frac{\sqrt{x+5}+2}{\sqrt{x+5}+2}$

Lembrando dos produtos notáveis:

(a -b).(a + b) = a²-b²

$\lim_{x \to \ -1} \frac{\sqrt{x+5}-2}{x+1} . \frac{\sqrt{x+5}+2}{\sqrt{x+5}+2} \\ \\ \lim_{x \to \ -1} \frac{(\sqrt{x+5}-2)(\sqrt{x+5}+2)}{(x+1)(\sqrt{x+5}+2)} \\ \\ \lim_{x \to \ -1} \frac{ ( \sqrt{x+5} )^{2} - 2^{2} }{(x+1)(\sqrt{x+5}+2)} \\ \\ \lim_{x \to \ -1} \frac{ x+5-4 }{(x+1)(\sqrt{x+5}+2)} \\ \\ \lim_{x \to \ -1} \frac{ (x + 1) }{(x+1)(\sqrt{x+5}+2)} \\ \\ \lim_{x \to \ -1} \frac{ 1 }{\sqrt{x+5}+2}$

Agora sim podemos substituir x por -1

$\lim_{x \to \ -1} \frac{ 1 }{\sqrt{x+5}+2} = \frac{ 1 }{\sqrt{-1+5}+2} = \frac{ 1 }{\sqrt{4}+2}=\frac{ 1 }{2+2}=\frac{ 1 }{4}$

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$\lim_{x \to \ -1} \frac{\sqrt{x+5}-2}{x+1} = \frac{1}{4}$