Question

Por favor, quem é fera em Matemática ou em Física, por favor, responder. Obrigado.

Answer 1

1.

Sabemos que a velocidade do objeto é a taxa de variação de sua posição, o que significa dizer que v(t) = s'(t).

Dado que v(t) = (3 + 2t + t²)m/min, o que queremos é avaliar uma função primitiva V(t) [que é a própria s(t)] durante o primeiro e o segundo minuto.

Encontrando s(t):

$s(t) = V(t)\\s(t) = 3t + 2 \cdot \dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{3}\\s(t) = 3t + t^2 + \dfrac{t^3}{3}$

Pelo TFC:

$\int\limits^b_a {f'(x)} \, dx = f(b) - f(a)$

Logo:

$\int\limits^1_0 {v(t)} \, dt = s(1) - s(0) = \left(3 \cdot 1 + 1^2 + \dfrac{1^3}{3}\right ) - \left( 3 \cdot 0 + 0 + 0\right) \\\\ = 4 + \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{12+1}{3} = \boxed{\dfrac{13}{3}m \approx 4,33m}$

O objeto percorreu aproximadamente 4,33 metros durante o primeiro minuto.

Quanto ao segundo minuto:

$\int\limits^2_0{v(t)} \, dt = \int\limits^1_0{v(t)} \, dt + \int\limits^2_1{v(t)} \, dt = \dfrac{13}{3} + s(2) - s(1)\\\\=\dfrac{13}{3}+3 \cdot 2 + 2^2 + \dfrac{2^3}{3} -\left (3+1+\dfrac{1}{3}\right )\\\\=\dfrac{13}{3} + 10+\dfrac{8}{3} - 4 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{20 + 18}{3} = \boxed{\dfrac{38}{3}m\approx 12,66m}$

O objeto percorreu aproximadamente 12,66 metros durante o segundo minuto.

2.

Primitiva G(x):

$G(x) = \dfrac{x^2}{2}+2x$

Assim:

$\int\limits^5_3 {g(x)} \, dx =\int\limits^5_3 {x+2} \, dx =G(5) - G(3) \\\\\ = \dfrac{5^2}{2}+5 \cdot 2 - \left( \dfrac{3^2}{2} + 2 \cdot 3\right) = \dfrac{25}{2}+10-\dfrac{9}{2}-6\\\\=\dfrac{16}{2} + 4 = 12$

A área sob o gráfico g(x) no intervalo [3, 5] possui área 12.

(É importante ressaltar que a primitiva [ou antiderivada] de uma função f(x) em um certo intervalo se dá por F(x) + C, em que F'(x) = f(x).

Por praticidade, escolhi as funções primitivas em que C = 0 na resolução dessas questões.)