Question

Por favor quem ajuda no cálculo da integral $\int\ {\frac{x}{\sqrt{2+4x} } } \, dx$ , obrigado!

Answer 1

Resposta:

∫ x/√(2+4x)  dx

Faça u = 2+4x  ==>du= 4dx

x=(u-2)/4   e dx=du/4

∫ [(u-2)/4] /√u  du/4

1/16 ∫ (u-2) /√u   du

1/16 ∫ u /√u   - 2/√u   du  

1/16 ∫ √u   - 2*u^(-1/2)   du  

=(1/16) * u^(3/2) / (3/2)  - 2 * u^(1/2)/ (1/2)  + c

=(1/24) * u^(3/2)   - (1/4)  * u^(1/2)  + c

Como u  =  2+4x

= (1/24) * (2+4x)^(3/2)   - (1/4)  * (2+4x)^(1/2)  + c

Answer 2

Podemos resolver esta integral usando a técnica de substituição. Seja,

$\begin{cases} u=2+4x\\ \\ \dfrac{du}{4} =dx \end{cases}$

Então,

$\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\dfrac{\frac{u-2}{4} }{\sqrt{u} }~du\\ \\ \\\\\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\frac{u-2}{4\sqrt{u} }~du\\ \\ \\ \\ \dfrac{1}{4}\displaystyle\int\dfrac{u}{4u^{\frac{1}{2} }}-\frac{1}{2u^{\frac{1}{2} }}~du=\dfrac{1}{4}( \frac{\sqrt{u^3}}{6} )-\sqrt{u} )+c$

Fiz de uma maneira mais direta, mas você pode fazer o passo a passo dos cálculos. Como a primitiva ainda está em termos de u, trocaremos u por 2+4 x.

Logo,

$\boxed{\dfrac{1}{4} (\frac{\sqrt{(2+4x)^3}}{6} - \sqrt{2+4x})+c}$

Espero ter ajudado!