Question

POR FAVOR, PRECISO DE AJUDA URGENTE
A função f(t)= - t² + 2t + 1/4 fornece a trajetória parabólica de um móvel. A altura que o móvel atinge no tempo t é dada por f(t). Sendo assim, responda:
a) qual é a maior altura atingida pelo móvel?
b) quando o móvel atinge a maior altura?
c) represente o gráfico dessa trajetória.

Answer 1

Olá, bom dia.

A função $f(t)=-t^2+2t+\dfrac{1}{4}$ fornece a trajetória parabólica de um móvel. A altura que o móvel atinge no tempo $t$ é dada por $f(t)$. Devemos determinar:

a) A maior altura atingida pelo móvel.

Lembre-se que dada uma função quadrática de coeficientes reais $f(x)=ax^2+bx+c,~a\neq0$, cujo gráfico é uma parábola, o sinal do seu coeficiente dominante $(a)$ determina para qual sentido está voltada a sua concavidade.

• Quando $a<0$, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função apresenta ponto de máximo.
• Quando $a>0$, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função apresenta ponto de mínimo.

Este ponto de máximo ou mínimo é o vértice da função, cujas coordenadas $V~(x_v,~y_v)$ são calculadas pelas fórmulas: $x_v=-\dfrac{b}{2a}$ e $y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}$, em que $\Delta=b^2-4ac$.

Observe que nesta alternativa, buscamos a maior altura atingida pelo móvel, ou seja, buscamos a ordenada do vértice da parábola, que reflete $\max\{f(t)\}$, nestas condições.

Substituindo os coeficientes $a=-1,~b=2$ e $c=\dfrac{1}{4}$, temos:

$y_v=-\dfrac{2^2-4\cdot(-1)\cdot\dfrac{1}{4}}{4\cdot(-1)}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$y_v=-\dfrac{4+1}{-4}\\\\\\\ y_v=\dfrac{5}{4}$

Esta é a altura máxima atingida pelo móvel.

b) Quando o móvel atinge a maior altura

Da mesma forma, devemos determinar a abscissa do vértice desta parábola.

Substituindo os coeficientes, teremos:

$x_v=-\dfrac{2}{2\cdot(-1)}$

Multiplique os valores

$x_v=-\dfrac{2}{-2}\\\\\\ x_v=1$

Este é o instante em que o móvel atinge a maior altura.

c) Represente o gráfico dessa trajetória

Para isso, utilizaremos o software Geogebra, o qual nos permite determinar com facilidade o gráfico da trajetória deste móvel.

Observe a imagem do gráfico em anexo.