Question

Por favor preciso de ajuda!

Resolvendo a equação 80x + 30y = 100, a solução particular (x0, y0) será o par ordenado.

Após identificar a solução particular de uma equação diofantina, as demais soluções podem ser encontradas através de:

$x^{`} = x_{0} - \frac{b}{d} t$ e em que t é um valor arbitrário e d é o mdc(a, b).


Logo, as demais soluções serão pares ordenados do tipo:


( -100 + 3t, 300 + 8t)


( -100 - 30t, 100 +3t)


( -100 - 3t, 300 + 8t)


( -100 - 300t, 300 + 10t)


( -10 - 300t, 30 + 8t)

Answer 1

Olá, Rosana.

Uma equação diofantina linear geral é do tipo: ax + by = c.
A equação do exercício é dada por: 80x + 30y = 100.
Uma solução particular para esta equação é: $(x_0,y_0)=(-10,30)$
Os coeficientes da equação do exercício a serem substituídos na fórmula da solução são: a = 80, b = 30, c = 100 e d = mdc(a,b) = mdc(80,30) = 10.
Substituindo na fórmula da solução, temos:

$x' = x_{0} - \frac{b}{d} t = -10-\frac{30}{10}t=-10-3t$

Substituindo o valor de x' na equação, temos:

$80(-10 - 3t) + 30y' = 100 \Rightarrow\\\\-800-240t+30y'=100\Rightarrow\\\\ 30y' = 900+240t\Rightarrow\\\\y'=\frac{900+240t}{30}\Rightarrow\\\\ y'=30+8t$

Solução: (-10 - 3t, 30 + 8t)

Se tentarmos a solução particular $(x_0,y_0)=(-100,270)$, teremos:

$x' = x_{0} - \frac{b}{d} t = -100-\frac{30}{10}t=-100-3t\Rightarrow$

$80(-100 - 3t) + 30y' = 100 \Rightarrow\\\\-8000-240t+30y'=100\Rightarrow\\\\ 30y' = 8100+240t\Rightarrow\\\\y'=\frac{8100+240t}{30}\Rightarrow\\\\ y'=270+8t$

Solução: (-100 - 3t, 270 + 8t)

Nenhuma das soluções disponíveis no exercício está correta.