Question

por favor, preciso de ajuda nessa questão!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marcelo, que temos a seguinte expressão:

lim [√(x) - 2] / (x-4)
x-->4

Veja: se formos substituir o "x" diretamente por "4" iremos ficar com algo do tipo "0/0", o que é uma indeterminação. Então deveremos levantar essa indeterminação. Para isso, poderemos encontrar (de forma independente) a derivada do numerador e a derivada do denominador. Vamos, então, reescrever a expressão, que é esta:

lim [√(x) - 2]/(x-4) ---- note que √(x) é a mesma coisa que (x)¹/². Assim:
x-->4

lim [(x)¹/² - 2]/(x-4) 
x-->4

Agora aplicaremos a derivada (de forma independente) no numerador e no denominador, para podermos levantar a indeterminação. Note que:

i) A derivada do numerador: x¹/² - 2 é: (1/2)*(x)⁻¹/²
ii) A derivada do denominador: x-4 é: 1.

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

lim [(1/2)*x⁻¹/²] / 1 ----- ou apenas:
x-->4

lim [(1/2)*x⁻¹/²]
x-->4

Note que, agora, já poderemos substituir o "x" por "4" e não vamos encontrar mais qualquer indeterminação. Veja:

[(1/2)*(4)⁻¹/²] = (1/2)*(1/4¹/²) ---- note que 1/4¹/² = 1/√(4). Assim:

[(1/2)*1√(4)] = 1/2√(4) = 1/2*2 = 1/4 <--- Esta é a resposta. Ou seja, tem-se que:

lim [√(x) - 2] / (x - 4) = 1/4
x--> 4

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.