Question

Por favor preciso de ajuda!
Está no anexo:

A alternativa de letra E é que está CORRETA.


A alternativa de letra A é que está CORRETA.


A alternativa de letra C é que está CORRETA.


A alternativa de letra B é que está CORRETA.


A alternativa de letra D é que está CORRETA.

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Answer 1

Calcular as derivadas parciais de $z$ em relação a $x$ e em relação a $y,$ sendo

$z(x,\;y)=\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}$


$\bullet\;\;$ Derivada parcial de $z$ em relação a $x:$

Tratamos a outra variável $y$ como constante, e derivamos usando as regras usuais de Cálculo Diferencial:

$\dfrac{\partial z}{\partial x}(x,\;y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}} \right )\\\\\\ =\dfrac{\frac{\partial }{\partial x}(xy)\cdot (x^{2}+y^{2})-xy\cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{y\cdot (x^{2}+y^{2})-xy\cdot (2x+0)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{y\,(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{x^{2}y+y^{3}-2x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{y^{3}-x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{y\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{-y\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$


$\bullet\;\;$ Derivada parcial de $z$ em relação a $y:$

De forma análoga, agora tratamos $x$ como constante:

$\dfrac{\partial z}{\partial y}(x,\;y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}} \right )\\\\\\ =\dfrac{\frac{\partial }{\partial y}(xy)\cdot (x^{2}+y^{2})-xy\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{x\cdot (x^{2}+y^{2})-xy\cdot (0+2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{x\cdot (x^{2}+y^{2})-xy\cdot (0+2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{x^{3}+xy^{2}-2xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{x^{3}-xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\\\\\\ =\dfrac{x\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$


Resposta: alternativa $\text{C) }\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{-y\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}~~\text{ e }~~\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{x\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,.$