Question

Por favor preciso de ajuda!

Está no anexo:

Answer 1

Olá Rosana!

Observe a seguinte comparação.

Comparando:

 \infty                                             
  ∑    $\frac{5}{n^4+1}$   
i = 0          

e

\infty
  ∑    $\frac{5}{n^4}$

i  = 0

Percebemos que:


$\\ \frac{5}{1^4+1} \ \textless \ \frac{5}{1^4} \\ \\ \frac{5}{2^4+1} \ \textless \ \frac{5}{2^4} \\ \\ . \\ . \\ . \\ \frac{5}{n^4+1} \ \textless \ \frac{5}{n^4}$


Que somando seria:

$\frac{5}{1^4+4} + \frac{5}{2^4+1} +...+.. \frac{5}{n^4+1} \ \textless \ \frac{5}{1^4} + \frac{5}{2^4} +....+ \frac{5}{n^4}$

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Chamando as somas da função $\frac{5}{n^4+1}$ de $S_{n}$

Teremos que:

$S_{n} \ \textless \ T_{n}$


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Vamos aplicar o teste da integral na função:

$\\ \frac{5}{n^4} = \frac{5}{x^4} \\ \\ \int\limits^ \infty_0 { \frac{5}{x^4} } \, dx = \lim_{T \to 0} \int\limits^1_T { \frac{5}{x^4} } \, dx + \lim_{T \to \infty} \int\limits^ T_1 { \frac{5}{x^4} } \, dx \\ \\ = \lim_{T\to 0} \int\limits^1_T {5x^-^4} \, dx + \lim_{T \to \infty} \int\limits^T_1 {5x^-^4} \, dx \\ \\ = \lim_{T \to 0} 5* \frac{x^-^3}{-3} + \lim_{T \to \infty} 5* \frac{x^-^3}{-3} \\ \\ = \lim_{T\to 0} \frac{5}{-3x^3} + \lim_{T \to\infty} \frac{5}{-3x3}$

$\\ \lim_{T \to 0^+} \frac{5}{-3x^3} = + \infty \\ \\ \lim_{T \to+ \infty} \frac{5}{-3x^3} = 0$

Portanto, essa função é divergente. 






            +\infty
Como    ∑      $\frac{5}{n^4}$ é  divergente, isso significa que:
            i  = 0

+\infty
∑     $\frac{5}{n^4}  [tex] \neq$ k[/tex]  , para algum número real "k"
i=1
                                                                     
Além disso, analisando:

                                n
 $T_{n} =$   ∑  $\frac{5}{n^4}$
                               i=1

Percebemos que:

$\\ \frac{5}{1^4} \ \textless \ \frac{5}{1^4} + \frac{5}{2^4} \ \textless \ \frac{5}{1^4} + \frac{5}{2^4} + \frac{5}{3^4}$ 

$\ \textless \ ....\ \textless \ \frac{5}{1^4} + \frac{5}{2^4} + \frac{5}{3^4} +...+ \frac{5}{n^4}$

ou seja,



$t_{1} \ \textless \ t_{1} + t_{2} \ \textless \ t_{1} + t_{2} + t_{3} \ \textless \ ....\ \textless \ t_{1} + t_{2} + t_{3} +....+ t_{n}$

Temos que:

$( T_{i} )^ni=1$ é crescente e $T_{n}$ → k. Podemos concluir que:


$T_{n} \neq k$

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Como vimos anteriormente, considerando  $S_{n} =$  

 n
 ∑   $\frac{5}{n^4+1}$
i=1

e
                               n
$T_{n} =$  ∑   $\frac{5}{n^4}$
                              i=1

Temos que $S_{n} \ \textless \ T_{n}$

E já  $T_{n} \neq K$

Temos que $S_{n} \neq K$

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Agora vamos analisar $S_{n}$

$\frac{5}{1^4+1} \ \textless \ \frac{5}{1^4+1} + \frac{5}{2^4+1} \ \textless \ \frac{5}{1^4+1} + \frac{5}{2^4+1} + \frac{5}{3^4+1} \ \textless \ ...\ \textless \ S_{n}$

Temos que:


$( S_{i} )^ni=1$ é crescente mais não é limitada (pois $S_{n} \neq k$)

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Portanto, obtemos que:

+\infty
∑      $\frac{5}{n^4+1}$ é divergente
i=1