Question

Por favor, preciso de ajuda!
Está no anexo.

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Answer 1

Verificar se a seguinte relação é uma transformação linear:

$\begin{array}{cl} T:&\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}\\ &(x,\,y)\mapsto (\mathrm{sen\,}x,\,y) \end{array}$


Verificação da (não-)linearidade:

Sejam

$\mathbf{u_{1}}=(x_{1},\,y_{1})$ e $\mathbf{u_{2}}=(x_{2},\,y_{2})$

vetores de $\mathbb{R}^{2}.$


Temos então que

$T(\mathbf{u_{1}}+\mathbf{u_{2}})\\ \\ =T(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})\\ \\ =(\mathrm{sen\,}(x_{1}+x_{2}),\,y_{1}+y_{2})\\ \\ =(\mathrm{sen\,}x_{1}\cdot \cos x_{2}+\mathrm{sen\,}x_{2}\cdot \cos x_{1},\,y_{1}+y_{2})\\ \\ \\ \neq T(\mathbf{u_{1}})+T({\mathbf{u_{2}}})\\ \\ =T(x_{1},\,y_{1})+T(x_{2},\,y_{2})\\ \\ =(\mathrm{sen\,}x_{1},\,y_{1})+(\mathrm{sen\,}x_{2},\,y_{2})\\ \\ =(\mathrm{sen\,}x_{1}+\mathrm{sen\,}x_{2},\,y_{1}+y_{2})$


A segunda alternativa é a correta, pois é a que segue o raciocínio acima.