Question

Por favor,não estou conseguindo resolver esses dois exercícios.Alguém pode me ajudar.Preciso de nota.

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Answer 1

$\bullet\;\;$ Resolver a integral $\int{\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx}$.

Fazendo a seguinte substituição

$u=x^{2}+1\;\;\Rightarrow\;\;du=2x\,dx$


Substituindo na integral, temos

$\int{\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx}\\ \\ =\int{\dfrac{du}{u}}\\ \\ =\mathrm{\ell n}\left|u\right|+C\\ \\ =\mathrm{\ell n}\left|x^{2}+1\right|+C$


$\bullet\;\;$ Resolver a integral $\int{\mathrm{\ell n}\left(x \right )\cdot 3x^{2}\,dx}$,

utilizando o método de integração por partes:

$\begin{array}{ll} u=\mathrm{\ell n}\left(x \right )\;\;&\;\;du=\dfrac{dx}{x}\\ \\ dv=3x^{2}\,dx\;\;&\;\;v=x^{3} \end{array}\\ \\ \\ \int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\\ \\ \\ \int{\mathrm{\ell n}\left(x \right )\cdot 3x^{2}\,dx}=\mathrm{\ell n}\left(x \right )\cdot x^{3}-\int{x^{3}\cdot \dfrac{dx}{x}}\\ \\ \\ \int{\mathrm{\ell n}\left(x \right )\cdot 3x^{2}\,dx}=\mathrm{\ell n}\left(x \right )\cdot x^{3}-\int{x^{2}\,dx}\\ \\ \\ \int{\mathrm{\ell n}\left(x \right )\cdot 3x^{2}\,dx}=\mathrm{\ell n}\left(x \right )\cdot x^{3}-\dfrac{x^{3}}{3}+C$