Matemática, perguntado por laravieira23, 8 meses atrás

por favor me ajudemmmmm
$log_{ \sqrt{2} }(3x - 1) + \: log_{ \sqrt{2} } \: (x)=2$
será que porfavor alguem pode me responder?

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Veja aqui a propriedade que foi usada na resolução:

logₐ (b) + logₐ (c) ⇔ logₐ (b.c)

$~~$

$\begin{array}{l}\sf log_{\sqrt{2}}~(3x-1)+log_{\sqrt{2}}~(x)=2\\\\\sf log_{\sqrt{2}}~((3x-1)\cdot(x))=2\\\\\sf log_{\sqrt{2}}~(3x^2-x)=2\end{array}$

Pela definição de logaritmo: logₐ (b) = c ⇔ b = aᶜ

$\begin{array}{l}\sf 3x^2-x=(\sqrt{2}~)^{2}\\\\\sf 3x^2-x=2\\\\\sf 3x^2-x-2=0\\\\\end{array}$

Veja que surgiu uma equação do 2º grau. Resolvendo pelo método da fatoração:

$\begin{array}{l}\\\sf 3x^2-3x+2x-2=0\\\\\sf 3x(x-1)+2(x-1)=0\\\\\sf (3x+2)\cdot(x-1)=0\\\\\begin{cases}\sf 3x+2=0\\\sf x-1=0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf -2+3x+2=0-2\\\sf 1+x-1=0+1\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf 3x=-2\\\sf x=1\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf \dfrac{3x}{3}=-\dfrac{2}{3}\\\sf x=1\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x'=-\dfrac{2}{3}\\\sf x''=1\end{cases}\\\\\end{array}$

Encontramos duas raízes para equação. Para saber se estas soluções são verdadeiras, vamos ter que substituir. Mas antes veja algumas das propriedades usadas da verificação:

logₐ (1) ⇔ 0
logₐᵇ (c) ⇔ 1/b . logₐ (c)
logₐ a ⇔ 1

$~~$

Para x = –2/3

$\begin{array}{l}\sf log_{\sqrt{2}}~(3x-1)+log_{\sqrt{2}}~(x)=2\\\\\sf log_{\sqrt{2}}~\bigg(3\cdot\bigg(-\dfrac{2}{3}\bigg)-1\bigg)+log_{\sqrt{2}}~\bigg(-\dfrac{2}{3}\bigg)=2\end{array}$

É sabido que o logaritmando deve ser positivo: logₐ b ⇒ b > 0

e como vemos: log√₂ (–2/3) ⇒ – 2/3 < 0

Logo, é falsa.

$~~$

Para x = 1:

$\begin{array}{l}\sf log_{\sqrt{2}}~(3x-1)+log_{\sqrt{2}}~(x)=2\\\\\sf log_{\sqrt{2}}~(3\cdot1-1)+log_{\sqrt{2}}~(1)=2\\\\\sf log_{\sqrt{2}}~(3-1)+0=2\\\\\sf log_{\sqrt{2}}~(2)=2\\\\\sf log_{\:2^{\frac{1}{2}}}~(2)=2\\\\\sf \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\cdot log_{2}~(2)=2\\\\\sf \dfrac{1\cdot2}{1\cdot1}\cdot 1=2\\\\\sf \dfrac{2}{1}=2\\\\\sf 2=2~~OK,~verdadeira\\\\\end{array}$