Question

POR FAVOR ME AJUDEMM!!!!



determine o comprimento dos segmentos tangentes às circunferências de centros O e O', cujos raios são, respetivamente iguais a 5 e 3, sendo a distância entre O e O' igual a 12.
1- AB é o segmento tangente

2- CD é o segmento tangente ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1)

• Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo AOO':

$\sf (\overline{AO'})^2=5^2+12^2$

$\sf (\overline{AO'})^2=25+144$

$\sf (\overline{AO'})^2=169$

$\sf \overline{AO'}=\sqrt{169}$

$\sf \overline{AO'}=13$

• Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ABO':

$\sf (\overline{AB})^2+3^2=13^2$

$\sf (\overline{AB})^2+9=169$

$\sf (\overline{AB})^2=169-9$

$\sf (\overline{AB})^2=160$

$\sf \overline{AB}=\sqrt{160}$

$\sf \red{\overline{AB}=4\sqrt{10}}$

2) Seja $\sf B$ o ponto de interseção entre CD e OO' e seja OB = x. Assim, BO' = 12 - x

Os triângulos BCO e BDO' são semelhantes pelo caso AA, logo seus lados são proporcionais

$\sf \dfrac{x}{5}=\dfrac{12-x}{3}$

$\sf 3x=5\cdot(12-x)$

$\sf 3x=60-5x$

$\sf 3x+5x=60$

$\sf 8x=60$

$\sf x=\dfrac{60}{8}$

$\sf x=7,5$

Então, $\sf \overline{OB}=7,5~e~\overline{BO'}=12-7,5=4,5$

• Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo BCO:

$\sf (\overline{BC})^2+5^2=7,5^2$

$\sf (\overline{BC})^2+25=56,25$

$\sf (\overline{BC})^2=56,25-25$

$\sf (\overline{BC})^2=31,25$

$\sf (\overline{BC})^2=\dfrac{3125}{100}$

$\sf (\overline{BC})^2=\dfrac{125}{4}$

$\sf \overline{BC}=\sqrt{\dfrac{125}{4}}$

$\sf \overline{BC}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$

• Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo BDO':

$\sf (\overline{BD})^2+3^2=4,5^2$

$\sf (\overline{BD})^2+9=20,25$

$\sf (\overline{BD})^2=20,25-9$

$\sf (\overline{BD})^2=11,25$

$\sf (\overline{BD})^2=\dfrac{1125}{100}$

$\sf (\overline{BD})^2=\dfrac{45}{4}$

$\sf \overline{BD}=\sqrt{\dfrac{45}{4}}$

$\sf \overline{BD}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

Logo:

$\sf \overline{CD}=\overline{BC}+\overline{BD}$

$\sf \overline{CD}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

$\sf \overline{CD}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2}$

$\sf \red{\overline{CD}=4\sqrt{5}}$