Question

Por favor me ajudem nesta equação
|x^2-4|=3x

Answer 1

Quando vamos resolver uma equação modular temos sempre duas possibilidades:

$|x|=a\rightarrow\left \{ {{x=a,\:x\geq0} \atop {-x=a,\:x<0}} \right.$

Isso resulta da própria definição de valor absoluto

$|x|=\left \{ {{x,\:\:x\geq0} \atop {-x,\:\:x<0}} \right.$

Portanto temos as seguintes duas possibilidades:

$|x^2-4|=3x\rightarrow\left \{ {{x^2-4=3x,\:\:x^2-4\geq0} \atop {-x^2+4=3x,\:\:x^2-4<0}} \right.$

Resolvendo para cada caso:

$x^2-4=3x\:\:(x^2-4\geq0)\\\\x^2-3x-4=0\:\:(x^2\geq4)\\\\x'=\frac{-b}{a}=\frac{3}{1}=3\\\\x''=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4\\\\x=4\:\:ou\:\:x=-1\:\:(|x|\geq2)\\\\x=4\:\:ou\:\:x=-1\:\:(x\leq-2\:\:ou\:\:x\geq2)\\\\x=4\\\\\\-x^2+4=3x\:\:(x^2-4<0)\\\\-x^2-3x+4=0\:\:(x^2<4)\\\\x'=\frac{-b}{a}=\frac{3}{-1}=-3\\\\x''=\frac{c}{a}=\frac{4}{-1}=-4\\\\x=-4\:\:ou\:\:x=1\:\:(|x|<2)\\\\x=-4\:\:ou\:\:x=1\:\:(-2\leq x\leq2)\\\\x=1$

O conjunto solução é a reunião entre as duas soluções:

$S=\{x\in\mathbb{R}\: |\:x=1\:\:ou\:\:x=4\}$