Por favor me ajudem nessa questão
O sistema {logx - logy = log5
{3^x-y = 81
Tem uma única solução?
Obrigado
Soluções para a tarefa
Para resolver o sistema resolverei primeiro a primeira equação e isolarei uma das incógnitas.
Isolando a incógnita:
log x - log y = log 5 --> Aqui pode-se usar a propriedade do log: log b (a) - log b (c) = log b (a/c)
log (x/y) = log 5 -> Em uma equação logarítmica quando se tem todos na mesma base ignore o "log" e calcule os logaritmandos.
x/y = 5
x = 5y --> Agora substitua isso na segunda equação do sistema.
Substituindo o x na segunda equação:
3^x-y = 81
3^((5y)-y) = 81
3^(5y - y) = 3^4
3^4y = 3^4
4y = 4
y = 4/4
y = 1
Substituindo o y ainda na primeira equação para encontrar o x:
3^x-y = 81
3^(x-(1)) = 81
3^x-1 = 3^4
x - 1 = 4
x = 4 + 1
x = 5
Verificando se os termos se adequam as condições de existência de um logaritmo:
Para log b (a) = x
A > 0
B > 0
B ≠ 0
log x = log 5
5 > 0
Verdadeiro.
log y = log 1
1 > 0
Verdadeiro.
X = 5 e Y = 1. Temos um valor para cada incógnita, isso quer dizer que temos única solução.
Resposta: O sistema tem uma única solução.