Question

Por favor me ajudem na questao 3

Answer 1

Nath, geralmente esses exercícios envolvendo fração e números decimais são usados pra testar a perícia do estudante com as propriedades de potenciação e radiciação.

No caso da potência, um detalhe que você pode não estar compreendendo, é que toda vez que o expoente for negativo, o número que você está tentando achar se inverte:
Exemplo: 2 ^ -2 vai gerar (1/2)², ou seja, 1/4.

Sobre radicais, eles são formados por expoentes fracionários. O denominador vira expoente do radicando, enquanto que o denominador vira o índice do radical.
8 ^ 2/3, vai gerar isso aqui: ∛8² ou ∛64.

Pra eliminar um radical, você também pode adicionar um expoente nele que seja igual ao índice do radical, por exemplo:
Se fizermos (√2)², vai virar 2.
Se fizermos (³√7)³, vai virar 7.
E assim por diante...

Com essas coisas em mente, agora podemos resolver os seus logaritmos:

Com x, temos:
log de 0,25 na base 16.
Sabemos que 0,25 é o mesmo que 1/4, certo?
Se o nosso logaritmo for 1/2 na base 16:
√16 = 4.
Esse resultado não interessa pra gente, pois queremos 1/4, não 4.
Logo, é só colocar -1/2 pra inverter as coisas:
16 ^ -1/2 vai virar: √1/16 = 1/4
É isso aí, x é igual -1/2

Vamos para y...
log de 1/2 na base √2
Se nosso logaritmo for 2, vai virar 2, já que como vimos antes:
(√2)² = 2
Mas queremos 1/2, não 2!
Logo, mudamos pra -2:
√2 ^ -2 = 1√4 = 1/2
Achamos o logaritmando, então y é -2 mesmo.

Agora o z, o mais desafiante de todos, se prepara aí...
log de √2 na base 1/8.
Se o logaritmo for 3, vamos ter:
(√2)³ vira √8 e, não não é isso, queremos 1/8.
Vamos inverter isso então:
√2 ^ -3 vai virar...
1/√8
Bateu na trave...
Mas espera aí, se eu fizesse (1/√8)² ia virar o 1/8 que eu quero, mas não tem como usar dois logaritmos um após o outro e... opa! Tem um jeito quando lembramos de outra propriedade da potência, aquela onde um expoente fora de um parêntese multiplica o que está dentro, por exemplo:
(2²)² = 2 ^ 4
Se temos ((1/√8) ^-3)², vamos chegar em (1/√8) ^ -6. Vamos tentar esse logaritmo de -6 em √2:
(√2) ^ -6 = 1/√64
Bingo!
1/√64 = 1/8
Então z é -6 mesmo.

Bom, finalmente temos os seguintes valores:
x = -1/2
y =  -2
z = -6

Então, temos que:
z < y < x

Resposta: E

Desculpe a explicação longa!

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo: