Question

Por favor, me ajudem. Imploro!! Determine f(x) se f(x/x+1)=x^2.

Answer 1

Consideremos a função $g:~\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$ definida por

$g(x)=\dfrac{x}{x+1}.$


Pelo enunciado, temos que

$f[g(x)]=x^{2}.$


Isolando $x$ em função de $g(x):$

$g(x)=\dfrac{x}{x+1}\\ \\\\ (x+1)\cdot g(x)=x\\ \\ x\cdot g(x)+g(x)=x\\ \\ x\cdot g(x)-x=-g(x)\\ \\ x\cdot [g(x)-1]=-g(x)\\ \\ \\ x=-\dfrac{g(x)}{g(x)-1}\\ \\ \\ \boxed{x=\dfrac{g(x)}{1-g(x)}}\,,~~~~g(x)\neq 1.$


Logo,

$f[g(x)]=x^{2}\\ \\ \\ f[g(x)]=\left[\dfrac{g(x)}{1-g(x)} \right ]^{2}$


Podemos substituir $g(x)=t$ na igualdade acima:

$f(t)=\left(\dfrac{t}{1-t} \right )^{\!\!2}$
_____________________

Portanto,

$\boxed{f(x)=\left(\dfrac{x}{1-x} \right )^{\!\!2}}$