Question

Por favor me ajudem, é urgente!
Um abajur tem o formato de um tronco de cone cujos raios das bases medem 8 cm e 20 cm e cuja altura mede 20 cm. Para revestir sua superfície lateral com um papel decorativo, qual a quantidade aproximada, em centímetros quadrados, necessária?
(Utilize π = 3,14 e √34=5,83)

A) 1280 cm^2
B) 2050 cm^2
C) 2490 cm^2
D) 3160 cm^2
E) 3270 cm^2

Answer 1

Resposta:

2050 $cm^2$

Explicação passo-a-passo:

Sejam H a altura do cone maior e h a altura do cone menor. Então: H - h = 20.

$\frac{H}{h} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \Rightarrow H = \frac{5}{2} \cdot h$      (i)

A altura do cone é igual a diferença da altura do cone maior e altura do cone menor. Então: H - h = 8, donde: H = h + 20      (II)

Substituindo (I) em (II), temos:

$\frac{5}{2} \cdot h= h + 20$

Multiplicando a equação toda por 2, temos:

$5h = 2h + 40\\5 h - 2h = 40\\3h = 40\\h =\frac{40}{3}$

Substituindo $h = \frac{40}{3}$ na equação (I), temos:

$H = \frac{5}{2} \cdot \frac{40}{3} = \frac{200}{6} = \frac{100}{3}$

Sejam G a geratriz do cone maior e g a geratriz do cone menor.

O raio do cone maior é 20 cm e o raio do cone menor é 8 cm.

Para o cone maior temos:

 $G^2 = 20^2 + \left(\frac{100}{3}\right)^2=400 + \frac{10000}{9} =\frac{3600 + 10000}{9} = \frac{13600}{9}$          

Então:

$G = \sqrt{\frac{13600}{9 }} = \frac{\sqrt{13600} }{\sqrt{9} } =\frac{20\sqrt{34} }{3}$

Para o cone menor, temos:

$g^2 = 8^2 + \left(\frac{40}{3}\right)^2= 64 + \frac{1600}{9} = \frac{576+1600}{9}= \frac{2176}{9}$

Então:

$g = \sqrt{\frac{2176}{9} } = \frac{\sqrt{2176} }{\sqrt{9} } = \frac{8\sqrt{34} }{3}$

A área lateral do tronco $AL_T$ é igual a área lateral do cone maior menos a área lateral do cone menor, ou seja,

$AL_T= \pi\cdot 20 \cdot G - \pi \cdot 8 \cdot g = \pi \cdot (20G - 8g)$Substituindo os valores de G e g encontrados nessa última equação, temos:

$AL_T= = \pi \cdot \left(20\cdot \frac{20\sqrt{34} }{3} - 8\cdot \frac{8\sqrt{34} }{3}\right) = \pi \cdot \frac{400\sqrt{34} - 64\sqrt{34}}{3} = \pi\cdot\frac{336\sqrt{34} }{3} = \pi\cdot 112\sqrt{34}$

Substituindo nessa última expressão $\pi = 3,14$ e $\sqrt{34} = 5,83$, temos:

$AL \cdot _T =3,14 \cdot 112 \cdot 5,83 \cong 2050,29$

Portanto, a área lateral aproximada é 2050 $cm^2$