Question

Por favor me ajudem, é Urgente!!! Questão de Geometria Analítica:

Seja 2a a medida do eixo maior e 2b a medida do eixo menor da elipse

(x-4)²/8 + (y+5)²/32=1. Qual a medida de 2a+2b?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre cônicas.

Seja $2a$ e $2b$ as medidas, respectivamente, do eixo maior e menor da elipse de equação reduzida: $\dfrac{(x-4)^2}{8}+\dfrac{(y+5)^2}{32}=1$. Devemos determinar o valor de $2a+2b$.

Primeiro, lembre-se que a equação reduzida de uma elipse, cujo centro tem coordenadas $(x_c,~y_c)$ e as medidas de seus semieixos maior e menor são, respectivamente, $a$ e $b$ é dada por: $\dfrac{(x-x_c)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$.

Quando $b>a$, vemos que a elipse tem eixo de simetria vertical, logo podemos reescrever a equação reduzida como: $\dfrac{(y-y_c)^2}{a^2}+\dfrac{(x-x_c)^2}{b^2}=1$.

Ao compararmos as equações, facilmente vemos que $a^2=32$ e $b^2=8$.

Calculando a raiz quadrada em ambos os lados das igualdades e assumindo as soluções positivas, encontramos os valores:

$a=4\sqrt{2}$ e $b=2\sqrt{2}$.

Substituindo estes valores na expressão desejada, teremos:

$2\cdot4\sqrt{2}+2\cdot 2\sqrt{2}$

Multiplique e some os valores

$8\sqrt{2}+4\sqrt{2}\\\\\\\ 12\sqrt{2}$

Este é o resultado que buscávamos.