Question

Por favor, me ajudem, é para amanhã.
Dois números naturais a e b são tais que mmc(a, b) = 45 e mdc(a, b) = 3.
Que números são esses?​

Answer 1

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⠀⠀☞ Os números que satisfazem as condições do enunciado são {3, 45} e {9, 15}. ✅

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⠀⠀ Vamos inicialmente relembrar que, para dois números naturais a e b, temos:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf a \times b = MMC (a, b) \times MDC (a, b)}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀Portanto sabemos que o produto de a e b será:

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$\LARGE\blue{\sf a \times b = 45 \times 3}$

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$\LARGE\blue{\sf a \times b = 135}$

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⠀⠀Vamos analisar quais são os divisores de 135:

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$\sf\large\gray{\boxed{\blue{\begin{array}{c|c|l}&\sf\underline{~~F~~}&\sf\underline{~~D~~}\\&&\\~~~~&~~~~&\{1\}~~~\\&&\\135&3&\{3\}\\&&\\45&3&\{9\}\\&&\\15&3&\{27\}\\&&\\5&5&\{5, 15, 45, 135\}\\&&\\1&&\\\end{array}}}}$

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⠀⠀Estes são nossos pares candidatos:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~1~e~135\\\\ \sf~3~e~45\\\\ \sf~5~e~27\\\\ \sf~9~e~15\end{cases}}$

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⠀⠀Temos duas condições para verificarmos estes candidatos:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~I)~~ MMC (a, b) = 45 \\\\ \sf~II)~~ MDC (a, b) = 3 \end{cases}}$

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⠀⠀Pela condição I) temos as seguintes opções:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~3~e~45\\\\ \sf~9~e~15\end{cases}}$

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⠀⠀Pela condição II) temos as seguintes opções:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~3~e~45\\\\ \sf~9~e~15\end{cases}}$

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⠀⠀Portanto temos dois pares solução para este problema:

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\gray{\{a, b\}}~\pink{=}~\blue{\{3, 45\}~ou~\{9, 15\}}~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre MMC e MDC:

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$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$