Question

Por Favor me ajudem

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função F(x) = x² - 2x + 1 em X=2

Answer 1

1o >>> Deriva f(x) = x^2 - 2x + 1

f'(x)= 2x + 2

2o >>> Substituir x=2 na equação f'(x) = 2x + 2 para achar a inclinação da reta (m)

f'(x) = 2x - 2
f(2) = 2.2-2
f(2) = 4-2
f(2) = 2
m = 2

3o >>> substituindo X=2 na equação f(x) = x^2 - 2.2 + 1 para encontrar o valor de y que será :

f(x) = x^2 -2x+1
f(2)=2^-2.2+1
f(2)=4-4+1
f(2)=1

4o >>> Agora usamos a fórmula ponto inclinação da geometria analítica para achar a equação da reta tangente :

y-y0=m(x-x0)
y-1=2(x-2)
y-1=2x-4
y=2x-4+1
********
y=2x-3 equação da reta tangente
********

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a reta tangente a função pelo ponto de tangencia é:

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 2x - 3\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} f(x) = x^{2} - 2x + 1\\x = 2\end{cases}$

Sabendo que a reta tangente ao gráfico para pelo ponto de tangência "T", cuja abscissa vale:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = x_{T} = 2\end{gathered}$    

Para montar a equação da reta tangente devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Se a ordenada do ponto "T" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

E o coeficiente angular da reta tangente é a derivada primeira da função em termos de "x", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$     

Substituindo as equações "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV" e desenvolvendo os cálculos, temos:

   $\large\displaystyle\begin{gathered} y - \left[2^{2} - 2\cdot2 + 1\right] = \left[2\cdot2^{1} - 1\cdot2\cdot2^{0} + 0\right]\cdot(x - 2)\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - \left[4 - 4 + 1\right] = \left[4 - 2 + 0\right]\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = 2\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = 2x - 4\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x - 4 + 1\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x - 3\end{gathered}$

✅ Portanto, a reta tangente é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 2x - 3\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$