Question

por favor me ajudem com esse calculo

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int {x}^{3} .e {}^{2x} dx$

Para resolver essa integral, devemos usar o método de integração por partes, que nos diz que devemos integrar uma parte da função e derivar uma outra parte, ela possui uma relação particular, dada pela expressão;

$\boxed{ \sf \int u.dv = u.v - \int v.du }$

Agora devemos escolher uma função para "u" e uma para "dv", sendo que a "u" a gente deriva e a "dv" integramos, para escolher de uma forma sábia, é necessário que lembremos da escala LIATE → Funções Logarítmicas, Inversas Trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas e Exponenciais, quão o nome estiver mais a esquerda esta será a função "u" já quão mais a direita será dv. Partindo dessa ideia, podemos dizer que as funções que temos serão:

$\sf u = x {}^{3} \: \: \: e \: \: \: dv = e {}^{2x}$

• Derivando "u":

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{3} ) \longleftrightarrow \sf \frac{du}{dx} = 3x {}^{2} \longleftrightarrow du = 3x {}^{2} dx$

• Integrando dv:

$\sf \int dv = \int e {}^{2x} dx \longleftrightarrow v = \int e {}^{2x} dx$

Para resolver essa integral, devemos usar o método da substituição, onde diremos que "u" = 2x, e essa tal função devemos derivá-la:

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (2x) \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 2 \longleftrightarrow \frac{du}{2} = dx$

Substituindo as expressão relacionadas a "u":

$\sf v = \int e {}^{2x} dx \longleftrightarrow v = \int e {}^{u} . \frac{du}{2} \longrightarrow \\ \\ \sf v = \frac{1}{2} \int e {}^{u} du \longleftrightarrow v = \frac{e {}^{2x} }{2} + P \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esses resultados na relação da integração por partes:

$\sf \int x {}^{3} .e {}^{2x} = x {}^{3} . \frac{e {}^{2x} }{2} - \int \frac{e {}^{2x} }{2} .3x {}^{2} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int x {}^{3} .e {}^{2x} = \frac{1}{2} \left( x {}^{3}.e {}^{2x} - 3 \left( \frac{1}{2} \int e {}^{2x} .x {}^{2} dx \right) \right)$

Observe que surgiu mais uma integral que deve ser integrada por partes, o critério de escolha será o mesmo de antes, então:

$\sf u = x {}^{2} \: \: \: e \: \: \: dv = e {}^{2x}$

• Derivando "u":

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{2} ) \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 2x \longleftrightarrow du = 2xdx$

• Integrando "dv":

$\sf \int dv = \int e {}^{2x} dx \longleftrightarrow v = \int e {}^{2x} dx$

Integrando por substituição:

$\sf u = 2x \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (2x) \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 2 \longleftrightarrow \frac{du}{2} = dx$

Substituindo essa expressão na integral:

$\sf v = \int e {}^{u} . \frac{du}{2} \longleftrightarrow v = \frac{e {}^{2x} }{2}$

Substituindo as resultados na nova integração por partes:

$\sf \int x {}^{2} .e {}^{2x} = x {}^{2} . \frac{e {}^{2x} }{2} - \int \frac{e {}^{2x} }{2} .2xdx \\ \\ \sf \int x {}^{2} .e {}^{2x} = \frac{x {}^{2} .e {}^{2x} }{2} - \int e {}^{2x} .xdx \: \: \:$

Substituindo essa expressão lá na integração que paramos;

$\sf \int x {}^{3} .e {}^{2x} = \frac{1}{2} \left( x {}^{3}.e {}^{2x} - 3. \left( \frac{1}{2} . \frac{x {}^{2} .e {}^{2x} }{2} - \int e {}^{2x} .xdx \right) \right)$

Mais umas vez jkkskkk surgiu mais uma integração por partes, vou fazer a mesma coisa que fiz anteriormente de uma forma mais rápida:

$\sf u = x \: \: \: e \: \: \: dv = e {}^{2x}$

• Derivando "u":

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} x \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \longleftrightarrow du = dx$

• Integrando "dv":

$\sf \int dv = \int e {}^{2x} \longleftrightarrow v = \frac{e {}^{2x} }{2}$

Substituindo na integração por partes:

$\sf \int x.e {}^{2x} = x. \frac{e {}^{2x} }{2} - \frac{1}{2} \int e {}^{2x} .dx \\ \\ \sf \int x.e {}^{2x} = \frac{x.e {}^{2x} }{2} - \frac{1}{2} \int e {}^{2x} dx$

Já calculamos aquela integral ali, então vamos apenas substituir o resultado:

$\sf \int x.e {}^{2x} = \frac{x.e {}^{2x} }{2} - \frac{1}{2} . \frac{e {}^{2x} }{2} \\ \\ \sf \int x.e {}^{2x} = \frac{x.e {}^{2x} }{2} - \frac{e {}^{2x} }{4} \: \: \: \:$

Substituindo esse resultado lá na integração que paramos na metade:

$\sf \int x {}^{3} .e {}^{2x } = \frac{1}{2} \left( x {}^{3}.e {}^{2x} - 3 \left( \frac{1}{2} .x {}^{2}.e {}^{2x} - \int e {}^{2x} .xdx \: \: \right) \right)\\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf \int x {}^{3} .e {}^{2x } = \frac{1}{2} \left( x {}^{3}.e {}^{2x} -3 \left( \frac{1}{2} .x {}^{2}.e {}^{2x} - \frac{x.e {}^{2x} }{2} + \frac{e {}^{2x} }{4} \right) \right) + P}}$

Espero ter ajudado