Question

por favor me ajudem

b) Sendo os vetores ū = 3i - 2j - 2k e v = 2i + 3j - k. determine c = ū x v

resposta passo a passo por favor​

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos determinar o produto vetorial entre os vetores $\vec{u}=3\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k}$ e $\vec{v}=2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$.

Para isso, reescrevemos os vetores em um sistema de coordenadas: $\vec{u}=(3,\,-2,\,-2)$ e $\vec{v}=(2, 3,\,-1)$.

O produto vetorial entre dois vetores $\vec{u}=(u_1,~u_2,~u_3)$ e $\vec{v}=(v_1,~v_2,~v_3)$é calculado pelo seguinte determinante: $\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3\\\end{vmatrix}$.

Utilizando o Teorema de Laplace, reduzimos a ordem do determinante:

$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}u_2&u_3\\v_2&v_3\\\end{vmatrix}\cdot\vec{i}-\begin{vmatrix}u_1&u_3\\v_1&v_3\\\end{vmatrix}\cdot\vec{j}+\begin{vmatrix}u_1&u_2\\v_1&v_2\\\end{vmatrix}\cdot\vec{k}$

Substituindo as componentes dos vetores, temos:

$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}-2&-2\\3&-1\\\end{vmatrix}\cdot\vec{i}-\begin{vmatrix}3&-2\\2&-1\\\end{vmatrix}\cdot\vec{j}+\begin{vmatrix}3&-2\\2&3\\\end{vmatrix}\cdot\vec{k}$

Calculamos os determinantes de ordem $2$: consiste na diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

$\vec{u}\times\vec{v}=((-2)\cdot(-1)-(-2)\cdot3)\cdot\vec{i}-(3\cdot(-1)-(-2)\cdot2)\cdot\vec{j}+(3\cdot3-(-2)\cdot2)\cdot\vec{k}$

Multiplique e some os valores

$\vec{u}\times\vec{v}=8\vec{i}-\vec{j}+13\vec{k}$

Este é o resultado deste produto vetorial.