Question

POR FAVOR ME AJUDEM!
As 8hs o navio A está a 25km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 16km/h e o navio B está navegando para o sul a 20km/h então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min.

Answer 1

Olá.

Para melhor compreensão da resposta, adicionei uma imagem em anexo. Vamos ao desenvolvimento da questão.

A taxa de variação de A para o oeste é positiva, pois quanto mais o barco A segue seu caminho, mais aumenta a distância.

A taxa de variação de B para o sul é negativa, pois quanto mais o barco desce, menor é a distância.

Na imagem em anexo, são demonstradas as distâncias.

Agora, vamos calcular os trajetos dos barcos. Para efetuar o cálculo, usaremos metade da taxas dadas, pois os barcos navegaram apenas por metade de hora.

Chamo de y a diferença entre os pontos iniciais, A e B, e a variação da taxa. Teremos:

$\mathsf{y=25-\dfrac{20}{2}=25-10=15}$

Chamo de y o percurso que o barco A faz rumo ao Oeste.

$\mathsf{x=0+\dfrac{16}{2}=8}$

Agora, com a posição do barco às 8h30, podemos ver um triângulo retângulo, de hipotenusa h e catetos x e y. Em geometria analítica, usa-se a hipotenusa de um triângulo retângulo para descobrir a distância entre dois pontos - agora, faremos o mesmo. Teremos:

$\mathsf{h^2=x^2+y^2}\\\\\mathsf{h^2=8^2+15^2}\\\\\mathsf{h^2=64+225}\\\\\mathsf{h^2=289}\\\\\mathsf{h=\sqrt{289}}\\\\\mathsf{h=17}$

Agora, temos de derivar com as taxas de variações que temos, buscando a taxa de variação de h. Para isso, usaremos o teorema de Pitágoras e as taxas que temos:

$\mathsf{\dfrac{dx}{dt}=16~~\therefore~~\dfrac{dy}{dt}=-20}$

Usando o teorema de Pitágoras, vamos aos cálculos.

$\mathsf{h\cdot\dfrac{dh}{dt}=x\cdot\dfrac{dx}{dt}+y\cdot\dfrac{dy}{dt}}\\\\\\\mathsf{17\cdot\dfrac{dh}{dt}=8\cdot16+15\cdot(-20)}\\\\\\\mathsf{17\cdot\dfrac{dh}{dt}=128-300}\\\\\\\mathsf{17\cdot\dfrac{dh}{dt}=-172}\\\\\\\mathsf{\underline{\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{-172}{17}}}$

Resposta final: $\mathsf{\dfrac{-172}{17}}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.