Question

Por favor me ajudem a responder essa questão. É muito importante

Answer 1

Utilizando calculso pro Binomios de Newton, temos que estes termos são:

a) 3360/x².

b) -960.

Explicação passo-a-passo:

Toda vez que expandimos um binomio de potencia, temos que utilizar a formula de Binomios de Newton para encontrarmos termo a termo, e esta é dada por:

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}$

No nosso caso, sabemos que a = 2x, b = -1/x e que n = 10, então:

$(2x-\frac{1}{x})^{10}=\sum_{i=0}^{10}{10 \choose i}(2x)^{10-i}(-\frac{1}{x})^{i}$

Vou reescrever 1/x como sendo x⁻¹ para ficar mais simplificado em potencias:

$(2x-\frac{1}{x})^{10}=\sum_{i=0}^{10}{10 \choose i}(2x)^{10-i}(-x^{-1})^{i}$

Agora podemso distribuir as potencias e junta-las para simplificar a expressão:

$(2x-\frac{1}{x})^{10}=\sum_{i=0}^{10}{10 \choose i}2^{10-i}x^{10-i}(-1)^{i}x^{-i}$

$(2x-\frac{1}{x})^{10}=\sum_{i=0}^{10}{10 \choose i}(-1)^{i}2^{10-i}x^{10-i-i}$

$(2x-\frac{1}{x})^{10}=\sum_{i=0}^{10}{10 \choose i}(-1)^{i}2^{10-i}x^{10-2i}$

Agora temos a expressão bem simplificada e com ela iremos responder as perguntas:

a)

Para encontrarmos o termo do meio, basta pensarmos que como esta somatória vai até a potencia 10, então ela tem 11 termo, pois contamos o primeiro sendo o 0 (i = 0), então o termo do meio é o termo sexto (i = 6), assim basta substituirmos i por 6 e encontrarmos este termo:

$(2x-\frac{1}{x})^{10}=\sum_{i=0}^{10}{10 \choose i}(-1)^{i}2^{10-i}x^{10-2i}$

$a_6={10 \choose 6}(-1)^{6}2^{10-6}x^{10-2.6}$

$a_6=\frac{10!}{6!4!}1.2^{4}x^{10-12}$

$a_6=\frac{10.9.8.7}{4!}.16x^{-2}$

$a_6=210.16x^{-2}$

$a_6=3360x^{-2}$

$a_6=\frac{3360}{x^2}$

Assim temos que o termo do meio é 3360/x².

b)

Para encontrarmos o termo de pontencia x⁻⁴, precisamo saber o posição i dele primeiro, para isso, basta igualar a potencia de x com -4 e isolarmos i:

$(2x-\frac{1}{x})^{10}=\sum_{i=0}^{10}{10 \choose i}(-1)^{i}2^{10-i}x^{10-2i}$

$x^{10-2i}=x^{-4}$

$10-2i=-4$

$-2i=-4-10$

$-2i=-14$

$i=7$

Assim temos que este termo esta na posição i = 7, então basta substituirmos i por 7 e encontrarmos todo o termo:

$(2x-\frac{1}{x})^{10}=\sum_{i=0}^{10}{10 \choose i}(-1)^{i}2^{10-i}x^{10-2i}$

$a_7={10 \choose 7}(-1)^{7}2^{10-7}x^{10-2.7}$

$a_7=\frac{10!}{7!3!}(-1).8.x^{-4}$

$a_7=\frac{10.9.8}{3!}(-1).8.x^{-4}$

$a_7=10.3.4.(-1).8.x^{-4}$

$a_7=-960x^{-4}$

Assim temos que o coeficiente deste termo é dado por -960.