Question

Por favor, me ajudem a achar a assintota vertical! Valew

Answer 1

Analise o denominador

$\sqrt{x^2-2}>0$

$x^2-2>0$

$x^2>2$

$x>\sqrt{2}~~e~~x<-\sqrt{2}$

$\lim_{x\to\sqrt{2}^+}\left(\frac{4x^2}{\sqrt{x^2-2}}\right)$

Trocando de variável

$x=\sqrt{2}+h$

$h\to0$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{4*(\sqrt{2}+h)^2}{\sqrt{(\sqrt{2}+h)^2-2}}\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{4*(\sqrt{2}+h)^2}{\sqrt{2+2h\sqrt{2}+h^2-2}}\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{4*(\sqrt{2}+h)^2}{\sqrt{2h\sqrt{2}+h^2}}\right)$

Substituindo a tendência

$\lim_{h\to0}\left(\frac{4*(\sqrt{2}+0)^2}{\sqrt{2*0*\sqrt{2}+0^2}}\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{8}{0}\right)=+\infty$

Agora vamos calcular para o outro ponto

$\lim_{x\to-\sqrt{2}^-}\left(\frac{4x^2}{\sqrt{x^2-2}}\right)$

Trocando de variável

$x=-(\sqrt{2}+h)$

$h\to0$

Elevando ao quadrado o sinal vai ser trocado para positivo, então num muda nada na resolução

$\lim_{h\to0}\left(\frac{4*(\sqrt{2}+h)^2}{\sqrt{(\sqrt{2}+h)^2-2}}\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{4*(\sqrt{2}+h)^2}{\sqrt{2+2h\sqrt{2}+h^2-2}}\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{4*(\sqrt{2}+h)^2}{\sqrt{2h\sqrt{2}+h^2}}\right)$

Substituindo a tendência

$\lim_{h\to0}\left(\frac{4*(\sqrt{2}+0)^2}{\sqrt{2*0*\sqrt{2}+0^2}}\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{8}{0}\right)=+\infty$

Portanto

$\boxed{\boxed{\lim_{x\to-\sqrt{2}^-}f(x)=\lim_{x\to\sqrt{2}^+}f(x)=+\infty}}$

Portanto essas são as assíntotas verticais.