Question

Por Favor Me Ajudem



1. Dado o triângulo retângulo ilustrado a seguir,

calcule:

a) sen α b) cos α

c) sen b d) tg α

2. Dado o triângulo retângulo ilustrado a seguir,

determine:

a) x b) z c) γ



3. No triângulo retângulo ilustrado a seguir,

determine o valor do ângulo α e a medida do

lado indicado por x .


4. No triângulo ilustrado a seguir, qual é o valor

do ângulo tg β dado que sen α = 3/4?



5. Considere o triângulo ilustrado a seguir e

mostre que (sen α)2+ (cosβ)2 = 1 .

Answer 1

1. Antes devemos determinar o valor da hipotenusa do triangulo, utilizando o Teorema de Pitágoras:

$\mathsf{h^2=a^2+b^2}\\\mathsf{h^2=8^2+6^2}\\\mathsf{h^2=64+36}\\\mathsf{h^2=100}\\\mathsf{h=\sqrt{100}}\\\mathsf{h=10}$

a) O seno é determinado pelo razão entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa:

$\mathsf{sen\:\alpha =\dfrac{CO}{H}}\\\\\\\mathsf{sen\:\alpha =\dfrac{6}{10}}\\\\\\\boxed{\mathsf{sen\:\alpha =\dfrac{3}{5}}}\: \: \checkmark$

b) O cosseno é determinado pelo razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa:

$\mathsf{cos\:\alpha =\dfrac{CA}{H}}\\\\\\\mathsf{cos\:\alpha =\dfrac{8}{10}}\\\\\\\boxed{\mathsf{cos\:\alpha =\dfrac{4}{5}}}\: \: \checkmark$

c) Aplicando a propriedade do seno, agora em β:

$\mathsf{sen\:\beta =\dfrac{CO}{H}}\\\\\\\mathsf{sen\:\beta =\dfrac{8}{10}}\\\\\\\boxed{\mathsf{sen\:\beta =\dfrac{4}{5}}}\: \: \checkmark$

d) A tangente é determinado pelo razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente:

$\mathsf{tg\:\alpha =\dfrac{CO}{CA}}\\\\\\\mathsf{tg\:\alpha =\dfrac{6}{8}}\\\\\\\boxed{\mathsf{tg\:\alpha =\dfrac{3}{4}}}\: \: \checkmark$

2. 

a) O valor de "x":

$\mathsf{sen\:60^{\circ }=\dfrac{x}{5}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{x}{5}}\\\\\\\boxed{\mathsf{x=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}}}\: \: \checkmark$

b) O valor de "z":

$\\\\\\\mathsf{cos\:60^{\circ }=\dfrac{z}{5}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}=\dfrac{z}{5}}\\\\\\\boxed{\mathsf{z=\frac{5}{2}}}\: \: \checkmark$

c) Lembrando que a soma dos ângulos internos de uma triangulo é igual a 180°. Assim, o valor de "y" é:

$\mathsf{y+90^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }}\\\mathsf{y+150^{\circ }=180^{\circ }}\\\mathsf{y=180^{\circ }-150^{\circ }}\\\boxed{\mathsf{y=30^{\circ }}}\: \: \checkmark$

3. O valor de "x" sera determinado através do Teorema de Pitágoras, onde a o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos:

$\mathsf{10^2=\left(5\sqrt{3}\right)^2+x^2}\\\mathsf{100=\left(25\cdot 3\right)+x^2}\\\mathsf{100=75+x^2}\\\mathsf{x^2=100-75}\\\mathsf{x^2=25}\\\mathsf{x=\sqrt{25}}\\\boxed{\mathsf{x=5}}\: \: \checkmark$

O valor do angulo α é:

$\mathsf{sen\:\alpha =\dfrac{CO}{H}}\\\\\\\mathsf{sen\:\alpha =\dfrac{5\sqrt{3}}{10}}\\\\\\\mathsf{sen\:\alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{arcsen\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=60^{\circ }}\\\\\\\boxed{\mathsf{\alpha =60^{\circ }}}\: \: \checkmark$

4. Aplicando o sen α teremos:

$\mathsf{sen\:\alpha =\dfrac{CO}{H}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{12}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{12\cdot 3}{4}}\\\\\\\mathsf{x=3\cdot 3}\\\\\\\mathsf{x=9}$

O valor do lado "y" é:

$\\\mathsf{h^2=a^2+b^2}\\\mathsf{12^2=9^2+y^2}\\\mathsf{144=81+y^2}\\\mathsf{y^2=144-81}\\\mathsf{y^2=63}\\\mathsf{y=\sqrt{63}}$

Agora, calculando a tangente do ângulo β:

$\\\\\\\mathsf{tg\:\beta =\dfrac{CO}{CA}}\\\\\\\mathsf{tg\:\beta =\dfrac{y}{x}}\\\\\\\mathsf{tg\:\beta =\dfrac{\sqrt{63}}{9}}\\\\\\\boxed{\mathsf{tg\:\beta =\dfrac{\sqrt{63}}{9}}}\: \: \checkmark$

5. Provando a propriedade:

$\mathsf{sen^2\:\alpha +cos^{2\:}\alpha }\\\\\\\mathsf{\left(\dfrac{a}{c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}\right)^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{a^2+b^2}{c^2}}$

Lembrando que se aplicarmos o Teorema de Pitágoras teremos:

$\mathsf{h^2=a^2+b^2}\\\mathsf{c^2=a^2+b^2}$

Substituindo:

$\mathsf{\dfrac{a^2+b^2}{c^2}}\\\\\mathsf{\dfrac{c^2}{c^2}}\\\\\boxed{\mathsf{1}}\: \: \checkmark$

Logo:

$\boxed{\boxed{\mathsf{sen^2\alpha +cos^2\alpha =1}}}$