Question

Por favor, me ajude com essa questão de geometria espacial:

Sabendo que a aresta de um cubo mede 30cm, calcule:

a) O número de diagonais do cubo e o número total de diagonais das faces do cubo;
b) A soma das medidas de todas as arestas com todas as diagonais do cubo;
c) A diferença entre: a soma das medidas de todas as diagonais das faces do cubo com a soma das medidas de todas as diagonais do cubo;
d) A distância, não nula, de um vértice do cubo à sua diagonal.

Answer 1

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá novamente, Myumik, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas. ✌

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☔ Temos que os vértices de um poliedro convexo podem se ligar aos outros pontos de 3 formas distintas:

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➡ I) Formando ARESTAS;

➡ II) Formando DIAGONAIS DE POLÍGONOS;

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☔ Cada diagonal de polígono (d), para o caso do cubo, pode ser encontrada a partir da hipotenusa do triângulo retângulo de catetos iguais à aresta do cubo, ou seja,

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➡ $\sf\blue{ d = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{1.800} = 30 \cdot \sqrt{2}~cm}$

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➡ III) Formando DIAGONAIS DO POLIEDRO

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☔ Cada Diagonal de poliedro (D), para o caso do cubo, pode ser encontrada a partir da hipotenusa do triângulo retângulo de catetos iguais uma aresta do cubo e uma diagonal do polígono, ou seja,

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➡ $\sf\blue{ D = \sqrt{30^2 + (30 \cdot \sqrt{2})^2} = \sqrt{2.700} = 30 \cdot \sqrt{3}~cm}$

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☔ Para o caso do cubo, que podemos facilmente contar de vista, temos

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➡ I) 12 arestas;

➡ II) 4 diagonais para cada face, o que resultaria em 24 diagonais se não tivéssemos diagonais repetidas ($d_{ab} = d_{ba}$), ou seja, 12 diagonais de polígonos;

➡ III) 1 Diagonal para cada vértice, o que resultaria em 8 Diagonais se não tivéssemos Diagonais repetidas ($D_{af} = D_{fa}$), ou seja, 4 Diagonais de poliedro.

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Ⓐ$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ A)}~\gray{D~e~d}~\pink{=}~\blue{ 4~e~12 }~~~}}$ ✅

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Ⓑ$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ Sendo 12 o nosso total de arestas então temos um total de

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➡ $\sf\blue{ \sum a = 12 \cdot 30 = 360~cm }$

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➡ $\sf\blue{ \sum D = 4 \cdot 30 \cdot \sqrt{3} = 120 \cdot \sqrt{3}~cm }$

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➡ $\sf\blue{ \sum a + \sum D = 360 + 120 \cdot \sqrt3 = 120 \cdot (3 + \sqrt3)~cm }$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ B)}~\gray{\sum a + \sum D}~\pink{=}~\blue{ 120 \cdot (3 + \sqrt3)~cm }~~~}}$ ✅

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Ⓒ$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\sf\blue{ \sum d - \sum D = 12 \cdot 30 \cdot \sqrt{2} - 120 \cdot \sqrt{3} }$

$\sf\blue{ = 360 \cdot \sqrt{2} - 120 \cdot \sqrt{3} }$

$\sf\blue{ = 120 \cdot (3 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3}) }$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ C)}~\gray{ \sum d - \sum D}~\pink{=}~\blue{ 120 \cdot (3 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3})~cm }~~~}}$ ✅

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Ⓓ$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ Com a exceção da Diagonal que tem o próprio vértice escolhido como um dos extremos dela temos que para as outras 3 Diagonais tal vértice (chamemos ele de A) irá conter o ângulo oposto à hipotenusa do triângulo retângulo formado por uma a, d e D, sendo portanto a distância de A até D a altura deste triângulo retângulo (tomando a hipotenusa como base). Pela relações de semelhança deste triângulo retângulo temos que

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$\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(-0.98,2.99){\line(-1,0){6}}\put(-3.7,2.99){\line(0,1){4}}\put(-1,3){\line(-1,11){2.7}}\put(-3.7,7.05){\line(-2,-21){3.25}}\put(-3.9,7.3){A}\put(-7.6,3){B}\put(-0.7,3){C}\qbezier(-4.2,6.4)(-3.7,5.8)(-3.3,6.4)\put(-4,6.35){ \phi~\beta }\put(-6.4,3.2){ \beta }\put(-1.85,3.2){ \phi }\qbezier(-6.35,3.7)(-5.7,3.7)(-5.9,3)\qbezier(-1.5,3.7)(-2.4,3.6)(-2.1,3)\put(-4.2,4.2){h}\put(0,5.5){ \boxed{\phi + \beta = 90^{\circ}} }\put(-4.2,2.3){ 30\sqrt3 }\put(-6.5,5.2){ 30\sqrt2 }\put(-2.2,5.2){30}\end{picture}$

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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➡ $\sf\blue{ sen(\beta) = \dfrac{30}{30\sqrt3} = \dfrac{h}{30\sqrt2} }$

➡ $\sf\blue{ h = \dfrac{30\sqrt2 \cdot 30}{30\sqrt3} }$

➡ $\sf\blue{ = \dfrac{30\sqrt2}{\sqrt3} }$

➡ $\sf\blue{ = \dfrac{30\sqrt2}{\sqrt3} \cdot \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} }$

➡ $\sf\blue{ = \dfrac{30\sqrt6}{3} }$

➡ $\sf\blue{ = 10 \cdot \sqrt6~cm }$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ D)}~\gray{d}~\pink{=}~\blue{ 10 \cdot \sqrt6~cm }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$