Por favor, estou tentando encontrar autovalor e auto vetor da matriz
1 ; 2 ; -1
1 ; 0 ; 1
4 ; -4 ; 5
tentei de tudo quanto é forma e não estou conseguindo, e jogando no symbolab sai uma coisa mto absurda
Soluções para a tarefa
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Autovalores: 1,2 e 3.
Autovetores:
Associado ao 1: (-1,1,2).
Associado ao 2: (-2,1,4).
Associado ao 3: (-1,1,4).
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Para encontrar os autovalores associados a uma matriz, devemos igualar seu polinômio característico a 0. Em outras palavras, temos que calcular as raízes da equação:
det(M - x.I) = 0
Onde: M é a matriz, I a matriz identidade e x o autovalor.
Fazendo isso, encontraremos três autovalores que estarão associados um por um a um autoespaço diferente.
===> Cálculos:
| 1 2 -1| | x 0 0 |
det( | 1 0 1 | - | 0 x 0 | ) = 0
| 4 -4 5| | 0 0 x |
| 1-x 2 -1 |
det( | 1 -x 1 | ) = 0
| 4 -4 5-x|
(1-x).(-x).(5-x) + 4 + 8 -4x -2.(5-x) + 4.(1-x) = 0
(-x³+ 6x² -5x) + 12 -4x + (-10 + 2x) + (4-4x) = 0
-x³ + 6x² -11x + 6 = 0
Assim, facilmente observamos que as raízes (autovalores) dessa equação cúbica são: 1, 2 e 3.
x = 1
x = 2
x = 3
O próximo passo é o cálculo dos autoespaços através da fórmula:
( a ) ( 0 )
(M - x.I) . ( b ) = ( 0 )
( c ) ( 0 )
Onde se deve substituir uma raiz (x) por vez para encontrar o vetor (a,b,c).
Realizando essa conta matricial, cairemos num sistema onde encontraremos o autovetor associado ao autovalor x.
- Para x = 1:
===> Cálculos
| 0 2 -1| | a | | 0 |
| 1 -1 1 | . | b | = | 0 |
| 4 -4 4| | c | | 0 |
Sistema:
I. 2b - c = 0 => c = 2b
II. a - b + c = 0
III. 4a -4b + 4c = 0
Somando I com II:
IV. a = -b
Portanto,
- a => (-1).b
- b => (1).b
- c => (2)b
O autovetor que gera o autoespaço associado ao autovalor 1 será: (-1,1,2) ou qualquer múltiplo.
- Para x = 2:
===> Cálculos
| -1 2 -1| | a | | 0 |
| 1 -2 1 | . | b | = | 0 |
| 4 -4 3| | c | | 0 |
Sistema:
I. -a + 2b - c = 0
II. a - 2b + c = 0
III. 4a -4b + 3c = 0
Somando III com o dobro de I:
IV. 2a + c = 0
Somando IV com I:
a + 2b = 0 => b = -a/2
Portanto,
- a => (1).a
- b => (-1/2).a
- c => (-2).a
O autovetor que gera o autoespaço associado ao autovalor 2 será: (1,-1/2,-2) ou qualquer múltiplo. Por convenção, deixaremos todas as coordenadas inteiras multiplicando, assim, o vetor por (-2) => (-2,1,4).
- Para x = 3:
===> Cálculos
| -2 2 -1| | a | | 0 |
| 1 -3 1 | . | b | = | 0 |
| 4 -4 2| | c | | 0 |
Sistema:
I. -2a + 2b -c = 0
II. a -3b + c = 0
III. 4a - 4b + 2c = 0
Somando I com II:
IV. -a -b = 0 => b = -a
Somando IV com II:
-4b + c = 0
c = 4b => c = -4a
Portanto,
- a => (1).a
- b => (-1).a
- c => (-4).a
O autovetor que gera o autoespaço associado ao autovalor 3 será: (1,-1,-4) ou qualquer múltiplo. Por comodidade, vamos multiplicar por (-1) para ficar com menos sinais negativos => (-1,1,4).
Para mais exemplos de autovalores e autovetores, acesse:
- https://brainly.com.br/tarefa/25755995