Question

Por favor, estou no primeiro semestre de cálculo

Answer 1

Resposta:

$2\sqrt{3}.$

Explicação:

Calculemos o limite dado por meio de manipulação algébrica:

$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x} - \sqrt{3} }\\\\ = \lim_{x \to 3} (\frac{x-3}{\sqrt{x} - \sqrt{3} }\,.\,\frac{\sqrt{x} +\sqrt{3} }{\sqrt{x} + \sqrt{3} })\\\\ = \lim_{x \to 3} (\frac{(x-3)(\sqrt{x} +\sqrt{3}) }{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{3})^2 })\\\\= \lim_{x \to 3} (\frac{(x-3)(\sqrt{x} +\sqrt{3} )}{x-3})\\\\= \lim_{x \to 3} (\sqrt{x} + \sqrt{3})\\\\ = \sqrt{3} + \sqrt{3}\\\\ = 2\sqrt{3}.$

Outro método de se resolver esse mesmo limite é por meio da Regra de l'Hôpital:

$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x} - \sqrt{3} }\\\\\lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{dx}(x-3) }{\frac{d}{dx}(\sqrt{x} -\sqrt{3}) } \\\\= \lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x} } }\\\\= \lim_{x \to 3} 2\sqrt{x}\\\\ = 2\sqrt{3}.$