Question

POR FAVOR, É URGENTE!!!
Prove que n² + 1 não é divisível por 3 qualquer que seja o inteiro n. Preciso de explicação, por favor!!!

Answer 1

n² + 1 não é divisível por 3 pois qualquer que seja o "n" o resultado sempre será um número primo ou um número cujas somas dos valores absolutos é diferente de 3.

- Critérios de divisibilidade por 3:

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

ex: 468= 4+6+8= 18 = 1+8 = 9.

468 é divisivel por 3.

- também Não pode ser número primo pois:

números primos são aqueles que só podem ser divididos por eles mesmos ou por um.

Veja os exemplos de resultados obtidos para qualquer n, em n² + 1:

$1^{2}+1=2 \\2^{2}+1=5 \\3^{2}+1=10\\ 4^{2}+1=17 \\5^{2}+1=26 \\6^{2}+1=37$

Dessa forma, ao analisar os criterios de divisibilidade e os resultados obtidos para qualquer n podemos entender o porquê  n² + 1 não é divisível por 3.

Espero ter ajudado.

Answer 2

Para resolver esse problema irei usar conhecimentos básicos da aritmética modular.

Explicação passo-a-passo:

Pelo Pequeno Teorema de Fermat (caso especial do Teorema de Euler) temos que n² é congruente a 1 (mod 3). Assim sendo, conclui-se que n²+1 é congruente a 1+1 =2(mod 3), que é diferente de zero, e, portanto, não é divisível por 3.