Question

Por favor ^^
Calcule a integral abaixo:

Obs.: Eu tentei o método de substituição trigonométrica, mas não garanto que seja por esse método, porém acho o mais adequado.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$\int\limitsa {\frac{x^{2} }{\sqrt{4-9x^{2}}}}\,dx$

senα = 3x/2 ⇒ 3x = 2senα ⇒ x = 2/3sen ⇒ x² = 4/9sen²α

dx = 2/3cosα

cosα = √(4-9x²)/2 ⇒ √(4-9x²) = 2cosα

α = arcsen(3x/2)

2α = 2arcsen(3x/2)

sen2α = sen[2arcsen(3x/2)

$\int\limits {\frac{\frac{4}{9}sen\alpha ^{2}.\frac{2}{3}.cos\alpha}{2cos\alpha}d\alpha }\,=\frac{8}{54} \int\limits {sen\alpha ^{2} }\,d\alpha =\frac{8}{54}\int\limits {\frac{1}{2}(1-cos2\alpha)}\,d\alph\alpha=$$\frac{4}{27}\int\limits\frac{1}{2}d\alpha-\frac{4}{27}.\frac{1}{2}\int\limits{cos2\alpha } \, d\alpha=\frac{2}{27}\alpha-\frac{}{}\frac{4}{27}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}sen2\alpha=\frac{2}{27}\alpha-\frac{1}{27}sen2\alpha+C=\\\\\frac{2}{27}arcsen\frac{3x}{2}-\frac{1}{27}sen[arcsen(\frac{3x}{2})]+C$