Question

Por favor amigos me ajudem a resolver esta questão passo a passo para que aprenda a resolvê-la

1. Ao aplicar uma prova em sua turma de 1º ano, um professor de matemática observou que 50% dos seus alunos obtiveram nota igual a 4,0. Notou também que 25% deles obtiveram média de notas igual a 7,0 e que a média de notas X do restante dos alunos foi suficiente para que a média geral de notas ficasse em 5,0. Se dez dos alunos que tiraram nota 4,0 e cinco dos alunos do grupo cuja média de notas foi X tivessem tirado 7,0, a média geral de notas subiria para 6,0. Considerando essas informações, o número de alunos dessa turma e o valor de X são, respectivamente, iguais a
A)40 e 6,0.
B)36 e 6,0.
C)40 e 5,0.
D)36 e 5,0

Answer 1

Se 50% da turma obteve nota 4,0.

Logo, 50% da turma obteve outras notas.

Observe que, na pior das hipóteses, toda a metade da turma que tirou "outras notas" poderá ter nota igual a 0 e, na melhor, nota igual a 10.

Admita que a turma possui "n" alunos e a metade da turma (50%) corresponde a "n/2".

Assim, o cálculo da média no pior caso ficaria:

Média Geral = 4.(n/2) + 0.(n/2)/n = 2.n/n = 2,0

Já no melhor caso, a nota de todos da outra metade seria 10.

Média Geral = 4.(n/2) + 10.(n/2)/n = 2.n + 5.n/n = 7.n/n = 7,0

Como a média geral deu "5,0" devemos achar algum valor que represente a média de notas dos 50% restantes da turma, que podem ter obtido notas variadas. Intuitivamente, essa média de notas (não estamos falando do X ainda) seria 6, pois:

Média Geral = 4.(n/2) + 6.(n/2)/n = 2.n + 3.n/n = 5.n/n = 5,0

Perceba que não há como todos esses alunos (do grupo dos "outros 50%") terem tirado nota 6, senão seria impossível a média de 25% da turma (25% da turma = metade dos "outros 50%") ser 7,0, já que não há combinações de alunos que resultem em tal valor. Tudo isso para dizer que a outra metade da turma tirou notas de 0 a 10, sem ser 4. Dessa maneira, 50% da turma tirou média 4,0 (todos com nota 4) e os outros 50% média 6,0 (com notas variadas).

Dentro desses 50% (25%+25%) de alunos que tiraram notas variadas, metade tirou média 7,0 (25%) e a outra metade uma média X (25%). Ou seja, a metade que tirou média X (metade daquele "outros 50%"), tirou média 5,0, pois:

6,0 = 7,0.(n/4) + X.(n/4) / (n/2)

3.n = 1,75.n + X.n/4

1,25.n = X.n/4

1,25 = X/4

X = 5,0

Para achar o número de alunos, devemos utilizar a última informação:

"Se dez dos alunos que tiraram nota 4,0 e cinco dos alunos do grupo cuja média de notas foi X tivessem tirado 7,0, a média geral de notas subiria para 6,0"

Resumimos que a turma foi dividida em 3 partes:

- 50% da turma tirou média 4 (só com notas 4) (Soma 1)

- 25% da turma tirou média 7 (com notas variadas) (Soma 2)

- 25% da turma tirou média 5 (com notas variadas) (Soma 3)

O que mudou foi a Soma 1 e a Soma 3. A nova Soma 1 ficará:

Soma1: 4.(n/2-10) + 70 (o 70 vem do produto 7 x 10)

Soma2: 1,75.n

Soma3: 5.(n/4-5) + 35 (o 35 vem do produto 5 x 7)

Média Geral = Soma1 + Soma2 + Soma3 / n

6,0 = (2.n - 40 + 70) + (1,75.n) + (1,25.n - 25 + 35) / n

6.n = 5.n + 40

6.n-5.n = 40

n = 40 alunos

Vale ressaltar que mesmo que todos os alunos do grupo cuja média foi X não tenham tirado 5, a soma das notas dos CINCO alunos escolhidos devem juntos somar 25. Isso porque a única forma de se resolver a questão com os dados fornecidos, é fazendo "5.(n/4-5)", sendo que esse produto "5.(-5) = -25" representa o decréscimo de "25" na soma das notas da média "X".

Resposta: C)