Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 11 meses atrás

Por favor alguém responde
Calcule o limite, se existir. Caso contrário, justifique sua resposta.

\lim_{x \to \ 2} \frac{|x-2|}{x-2}

\lim_{x \to \ 0} \frac{sen(x^2+1/x)- sen(1/x)}{x}


Usuário anônimo: Isso é urgente não tó de brincadeira

Soluções para a tarefa

Respondido por Couldnt
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Quando analisamos um limite, dizemos que o limite existe se e somente se os limites laterais existirem e convergirem, deste modo, se uma função f satisfazer

\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = L

Então,

\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L

Vamos calcular os limites dados.

\lim_{x\rightarrow a^+} \dfrac{|x-2|}{x-2}

Como tomamos x pela direita, x > 2, e portanto vale que

\lim_{x\rightarrow a^+} \dfrac{|x-2|}{x-2} = \lim_{x\rightarrow a^+} \dfrac{x-2}{x-2} = 1

Calculando pela esquerda agora

\lim_{x\rightarrow a^-} \dfrac{|x-2|}{x-2}

Como tomamos pela esquerda, x < 2, e portanto vale

\lim_{x\rightarrow a^-} \dfrac{|x-2|}{x-2}=\lim_{x\rightarrow a^-} \dfrac{-(x-2)}{x-2} = -1

Os limites não convergem, já que

]\lim_{x\rightarrow a^+} \dfrac{|x-2|}{x-2} \neq ]\lim_{x\rightarrow a^-} \dfrac{|x-2|}{x-2}

Portanto, o limite

]\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{|x-2|}{x-2}

Não existe.

Para o limite

\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(\x^2+\frac{1}{x})-\sin(\frac{1}{x})}{x}

Temos de expandir a função e avaliar alguns limites:

Temos a soma de termos dentro do seno, portanto é válido:

\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)

\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(\x^2+\frac{1}{x})-\sin(\frac{1}{x})}{x} =

\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(x^2)\cos(\frac{1}{x})+\sin(\frac{1}{x})\cos(x^2)-\sin(\frac{1}{x})}{x}=

\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(x^2)\cos(\frac{1}{x})+\sin(\frac{1}{x})(\cos(x^2)-1)}{x}

\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(x^2)}{x}\cos(\frac{1}{x})+\dfrac{\cos(x^2)-1}{x}\sin(\frac{1}{x})

Vamos avaliar 2 limites dentro do limite maior:

\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{\sin(x^2)}{x}

lim_{x\rightarrrow a} \dfrac{\cos(x^2)-1}{x}

Ambos saem bem fácil quando aplicamos L'Hopital, já que há indeterminação 0/0 em ambos:

\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{\sin(x^2)}{x} =\lim_{x\rightarrow a} \sin(x^2)*2x = 0

lim_{x\rightarrrow a} \dfrac{\cos(x^2)-1}{x} =lim_{x\rightarrrow a} \cos(x^2)*2x = 0

Portanto, nosso limite se torna,

= \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(x^2)}{x}\cos(\frac{1}{x})+\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos(x^2)-1}{x}\sin(\frac{1}{x})

Que vale, de acordo com os limites calculados:

= 0*\cos(\frac{1}{x})+0*\sin(\frac{1}{x})

 = 0

Portanto,

\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(\x^2+\frac{1}{x})-\sin(\frac{1}{x})}{x} = 0

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