Por favor, alguém pode me ajudar a responder? Calcule ∫c x 4 dx+xy dy, sendo C o contorno do triângulo de vértices (0; 0), (1; 0) e (0; 1), percorrido neste sentido.
Soluções para a tarefa
É uma integral linha
∫c x^4 dx+xy dy
C o contorno do triângulo de vértices (0; 0), (1; 0) e (0; 1) é uma curva orientada positivamente
O campo tem os seguintes componentes:
Q(x,y)=x^4
P(x,y)=x*y
O teorema de Green se aplica a esta integral, pois as componentes possuem derivadas parciais contínuas no interior de C.
∫ Q(x,y) dx + P(x,y) dy
i: região de integração, a imagem em anexo
= ∫∫ (dP/dx -dQ/dy) dy dx (i)
i
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reta que passa pelos pontos (1,0) e (0,1)
m: coeficiente angular
m=(1-0)/(0-1)=-1
-1=(1-y)/(0-x) ==> x=1-y ==> y=1-x ou x=1-y
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1 1-x
= ∫ ∫ y - 0 dy dx
0 0
1 1-x
= ∫ ∫ y dy dx
0 0
1 1-x
= ∫ [ y²/2] dx
0 0
1 1-x
= ∫ [ y²/2] dx
0 0
1
= ∫ (1-x)²/2 dx
0
1
= (1/2)∫ 1-2x+x² dx
0
1
= (1/2)[ x-x²+x³/3]
0
=(1/2)*[1-1+1/3] = (1/2)*1/3 = 1/6 é a resposta
