Question

Por favor alguém me ajude, como posso calcular o valor de B? Questão do cespe!​

Answer 1

O exercício te dá a informação que, quando x = 50, o valor de A é 40.

Isto é:

$A(x) = 200 \cdot 2^{\left(\frac{x^2 - 120 \cdot x}{b}\right)}$

Então se substituirmos x por 50, A(x) tem que valer 40:

$40 = 200 \cdot 2 ^{\left(\frac{50^2 - 120 \cdot 50}{b}\right)}$

Precisamos isolar o b da equação, primeiramente, passa o 200 dividindo para o outro lado.

$\dfrac{40}{200} = 2 ^{\left(\frac{2500 - 6000}{b}\right)}$

Fica:

$\dfrac{1}{5} = 2 ^{\left(\frac{-3500}{b}\right)}$

Agora, podemos utilizar a seguinte propriedade dos logaritmos:

$\log_a[a]^c = c \cdot \log_a[a] = c \cdot 1 = c$

Para isso, precisamos aplicar o logaritmo de base 2 dos dois lados da equação de modo a manter base e logaritmando iguais no lado direito:

$\log_2\left[\dfrac{1}{5}\right] = \log_2\left[2 ^{\left(\frac{-3500}{b}\right)}\right]$

Ficando:

$\log_2\left[\dfrac{1}{5}\right] = \left(\dfrac{-3500}{b}\right) \cdot \log_2\left[2\right]$

$\log_2\left[\dfrac{1}{5}\right] = \left(\dfrac{-3500}{b}\right) \cdot 1$

$\log_2\left[\dfrac{1}{5}\right] = \dfrac{-3500}{b}$

Mas temos uma outra propriedade dos logaritmos que diz:

$\log_a\left[\dfrac{b}{c}\right] = \log_a[b] - \log_a[c]$

Aplicando-a:

$\log_2[1] - \log_2[5] = \dfrac{-3500}{b}$

Mas o logaritmo de 1 em qualquer base é 0, ou seja:

$0 - \log_2[5] = \dfrac{-3500}{b}$

$- \log_2[5] = \dfrac{-3500}{b}$

Multiplicando por -1 dos dois lados, cortamos o sinal negativo:

$\log_2[5] = \dfrac{3500}{b}$

Agora, o enunciado te dá os valores de log(2) e log(5), mas preste atenção: Esses valores são para o logaritmo na base 10 (quando não tem a base, significa base decimal). Então precisamos converter da base 2 para a 10, através da propriedade:

$\log_a[b] = \dfrac{\log_c[b]}{\log_c[c]}$

Onde c é a base nova (10) e a é a base atual (2):

$\log_2[5] = \dfrac{\log_10[5]}{\log_10[2]}$

Mas o exercício diz que: $\log_10[5] = 0,7$ e $\log_10[2] = 0,3$

Apenas substituindo:

$\log_2[5] = \dfrac{0,7}{0,3} = \dfrac{7}{3}$

Voltando para o problema:

$\dfrac{7}{3} = \dfrac{3500}{b}$

Agora resolvendo para b:

$b = \dfrac{3 \cdot 3500}{7} = 3 \cdot 500 = 1500$

Agora analisando os itens 82 a 85:

82) Afirma-se que no ano de 2020 (x = 60), a função atingirá seu valor máximo e passará a diminuir a partir desse período. Mas aqui estamos falando especificamente da função de segundo grau:

$x^2 - 120 \cdot x$

Para descobrir se essa alternativa é verdadeira, basta calcular o vértice x da função, usamos a expressão:

$x_v = \dfrac{-B}{2 \cdot A}$

Onde A e B são coeficientes da função quadrática: $y = A \cdot x^2 + B \cdot x + C$. Ou seja, A = 1 e B = -120. Substituindo:

$x_v = \dfrac{-(-120)}{2 \cdot 1} = \dfrac{120}{2} = 60$

Então, o pico é em 2020 e essa alternativa é verdadeira.

83) Nesse caso, precisamos comparar a área preservada em 2020 (x = 60) e 2080 (x = 120). Mas perceba que a função quadrática que determina o comportamento de A(x), é parabólica, e por via de regra é simétrica.

Do enunciado, sabemos que levou 50 anos (2010 - 1960) para o indíce de preservação atingir 1/5 do original (40 milhões).

Em 2080 voltaremos a ter 200 milhões de volta (como veremos no item 84), então, por causa da propriedade de simetria, 50 anos antes (2030), atingiria 1/5 de preservação. Qualquer valor entre 2010 e 2030 seria inferior a 40 milhões. Então, essa alternativa é verdadeira.

84) Como a área preservada em 1960 era 200 milhoes, para que volte a ser 200 milhoes, teríamos que ter:

$x^2 - 120 \cdot x = 0$

Então:

$x \cdot (x - 120) = 0$

Isso só acontece para x = 0 e x = 120. 1960 + 120 = 2080. Alternativa A.

85) O valor de b foi calculado no início e vale 1500. Dividindo por 10: 150.