Question

Por favor alguém me ajuda!! Matrizes (DESESPERADA)
Dada a matriz A=(aij)2x2, tal que
aij{ sen($\pi$/2 i) se i=j
...{ cos($\pi$j) se $\neq$ j
a) A^t
b)A^(-1)

Answer 1

Queremos encontrar uma matriz $\mathbf{A}=\left[a_{ij}\right]_{2 \times 2}$ de forma que

$\left\{\begin{array}{ll} a_{ij}=\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot i \right )&\text{, se }i=j\\ \\ a_{ij}=\cos \left(\pi\cdot j \right )&\text{, se }i\neq j \end{array}\right.$

onde $i,\,j \in \left\{1,\,2 \right \}$


Então,

$\bullet\;\;i=1,\;j=1\;\;\Rightarrow\;\;i=j\\ \\ a_{11}=\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot 1\right)\\ \\ a_{11}=\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{2}\\ \\ a_{11}=1\\ \\ \\ \bullet\;\;i=1,\;j=2\;\;\Rightarrow\;\;i\neq j\\ \\ a_{12}=\cos\left(\pi\cdot 2\right)\\ \\ a_{12}=\cos 2\pi\\ \\ a_{12}=1\\ \\ \\ \bullet\;\;i=2,\;j=1\;\;\Rightarrow\;\;i\neq j\\ \\ a_{21}=\cos\left(\pi\cdot 1\right)\\ \\ a_{21}=\cos \pi\\ \\ a_{21}=-1\\ \\ \\ \bullet\;\;i=2,\;j=2\;\;\Rightarrow\;\;i=j\\ \\ a_{22}=\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot 2\right)\\ \\ a_{22}=\mathrm{sen\,}\pi\\ \\ a_{22}=0$


Logo, a matriz $\mathbf{A}$ é

$\mathbf{A}=\left[ \begin{array}{cc} 1&1\\ -1&0 \end{array} \right ]$


a) a matriz transposta de $\mathbf{A}$ é obtida invertendo-se as linhas pelas colunas, então

$\boxed{\mathbf{A}^{t}=\left[ \begin{array}{cc} 1&-1\\ 1&0 \end{array} \right ]}$


b) Obter a matriz inversa de $\mathbf{A}$:

Calculando o determinante de $\mathbf{A}$, temos

$\det \mathbf{A}=\det \left[ \begin{array}{cc} 1&1\\ -1&0 \end{array} \right ]\\ \\ \det \mathbf{A}=1 \cdot 0-\left(-1\right)\cdot 1\\ \\ \det \mathbf{A}=0+1\\ \\ \det \mathbf{A}=1 \neq 0$


Como o determinante é diferente de zero, então $\mathbf{A}$ possui inversa.


Sendo $\mathbf{A}$ uma matriz quadrada de segunda ordem ($2 \times 2$), a inversa de $\mathbf{A}$ é obtida da seguinte forma:

$\bullet\;\;$ inverta as posições dos elementos da diagonal principal (os elementos $a_{11}$ e $a_{22}$);

$\bullet\;\;$ inverta os sinais dos elementos da diagonal secundária (os elementos $a_{12}$ e $a_{21}$);

$\bullet\;\;$ multiplique a matriz obtida pelo inverso do determinante de $\mathbf{A}$.


Assim, a matriz inversa é

$\mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{\det \mathbf{A}}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&1 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{1}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&1 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \boxed{\mathbf{A}^{-1}=\left[ \begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&1 \end{array} \right ]}$