Question

Por favor ajudem-me:
O que eu preciso pra determinar a posição relativa entre duas circunferências?

Answer 1

Vamos lá.

 

Veja, Frers, que é simples.O que você precisa saber é disto, basicamente:

 

i) Se a distância (d) entre os centros das circunferências for maior que a soma dos raios de cada uma (ou seja, se tivermos: d > r₁+r₂), então as duas circunferências são externas (uma está totalmente fora da outra de forma independente).

ii) Se a distância (d) entre os centros das circunferências for igual à soma dos raios de cada uma (ou seja, se: d = r₁+r₂) , então as duas circunferências são tangentes externas.

iii) Se a distância (d) entre os centros das circunferências for igual à subtração entre os raios (ou seja, se: d = r₁-r₂), então as duas circunferências são tangentes internas.

iv) Se a distância (d) entre os centros das circunferências for menor que a soma entre dos raios (ou seja, se: d < r₁+r₂),então as duas circunferências são secantes (cortam-se em dois pontos).

v) Se a distância (d) entre os centros das circunferências for menor que a subtração entre os dois raios (ou seja, se: d < r₁-r₂), então as duas circunferências são internas (uma dentro da outra).

vi) Se a distância (d) entre os centros das circunferência for igual a zero (d = 0), então as duas circunferências são concêntricas (ou seja, têm o mesmo centro).

Basicamente você terá que saber o que acabamos de ver aí em cima, embora haja algumas outras pequenas "particularidades".

 

 a)      Mas vamos ver as duas circunferências da questão, que são:

  λ₁ ----> (x+2)² + (y-12)² = 169  e λ₂ ---> x² + y² - 6y + 9 = 25 .

 

 b) Agora vamos primeiro deixar a equação da circunferência λ₂ na mesma forma de como está a equação da circunferência λ₁. Para isto, vamos formar os quadrados da equação da circunferência λ₂, que está assim transcrita:

 λ₂ ---> x² + y² - 6y + 9 = 25 ----- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles valores que forem acrescidos por força da formação dos quadrados. Repetindo a equação da λ₂, temos:

 λ₂ ---> x² + y² - 6y + 9 = 25 ----- formando os quadrados, ficaremos:

λ₂ ---> (x-0)² - 0 + (y-3)² - 9 + 9 = 25  ---- ou apenas:

λ₂ ---> (x-0)² + (y-3)² = 25

 

Note que, agora, ficamos com as duas circunferências exatamente escritas numa mesma forma, ou seja, temos isto:

 

λ₁ ---> (x+2)² + (y-12)² = 169 ---- como 169 = 13², então teremos:

λ₁ ---> (x+2)² + (y-12)² = 13²

e

λ₂ ---> (x-0)² + (y-3)² = 25 ------ como 25 = 5², teremos:

 λ₂ ---> (x-0)² + y-3)² = 5²

 

 c) Agora note que uma circunferência que tenha centro em C(xo; yo) e tenha raio = r , tem a seguinte equação reduzida:

 (x-xo)² + (y-yo)² = r²       .  (I) 

Se você fizer a comparação das equações das circunferências λ₁ e λ₂ com a pressão (I) aí de cima, vai constatar que:

 

 c.i) o centro da circunferência λ₁ é: C₁(-2; 12) e o raio é: r = 13.

c.ii) o centro da circunferência λ₂ é: C₂(0; 3) e raio é: r = 5.

 

 d) Agora vamos encontrar qual é a distância (d) entre os centros das duas circunferências, ou seja, vamos encontrar a distância (d) de C₁(-2; 12) a C₂(0; 3).

Assim, fazendo esse cálculo, teremos:

  d² = (0-(-2)² + (12-3)²

 d² = (2)² + (9)²

 d² = 4 + 81

 d² = 85

d = +-√(85) ----- como a distância entre os centros não pode ser negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = √(85) ----- o que dá mais ou menos 9,219 (bem aproximado) <--- Esta é a distância entre os centros das duas circunferências.

 Como os raios de cada uma são: da circunferência λ₁ = 13 e da λ₂ = 5, e como 13 + 5 = 18, que é um valor maior que a distância entre os centros das duas circunferências (d = √85, o que equivale a mais ou menos 9,219) , então as duas circunferências são secantes (ou seja, cortam-se em dois pontos). Assim, a posição relativa das duas circunferências da sua questão é:

 Secantes <--- Esta é a resposta.

Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, veja o gráfico das duas circunferências no endereço abaixo (pois aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos). Veja lá e constate o que acabamos de afirmar sobre a posição relativa dessas duas circunferências. Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i={%28x%2B2%29%C2%B2+%2B+%28y-12%29%C2%B2+%3D+169,+x%C2%B2%2By%C2

 

É isso aí.

Deu pra entender bem?

 

OK?

Adjemir