Question

*POR FAVOR, AJUDEM-ME NESTA QUESTÃO*

Se somarmos 1 ao numerador e ao denominador da maior fração própria irredutível na qual o numerador e o denominador são menores que 10, esta operação equivale a multiplicar esta fração por qual outra fração?

OBS.: Gostaria de entender o raciocínio passo-a-passo dessa questão.

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{81}{80}$

Explicação passo a passo:

Fração própria: é quando o numerador é menor que o denominador.
Irredutível: não é possível dividir tanto o numerador, quanto o denominador por um mesmo número.

Primeiro temos que descobrir qual a fração que o exercício está querendo.

Vamos pensar nos possíveis valores que a fração desejada pode ter, pra começar, vamos supor que a fração seja 1/5:

$F = \dfrac{1}{5}$

1/5 é igual a 0,2 em decimal, mas nós queremos a maior fração possível, então vamos pensar em algum jeito de aumentar o valor dessa fração. Vamos então fixar o número 1 como numerador. Qual o maior valor que podemos ter para o numerador = 1 ? Percebemos que:

$\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{5} > ...$

$0.5 > 0.333... > 0.25 > 0.2 > ...$

Percebemos então que quanto MENOR o DENOMINADOR, MAIOR é o valor da fração. Vamos pensar agora no caso do numerador ser igual a 2. Queremos então o MENOR DENOMINADOR possível para o numerador 2. Como a fração é própria, o denominador tem que ser maior que numerador, então o menor denominador possível é 3:

$F = \dfrac{2}{3}$

2/3 é igual a 0,666... então temos que:

$\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2}$

2/3 então passa a ser a maior fração até agora. Se continuarmos no mesmo raciocínio, agora usando o numerador igual a 3, temos que:

$F = \dfrac{3}{4}$

E percebemos que:

$\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2}$

$0.75 > 0.666... > 0.5$

Então, para todo numerador novo que tentarmos, o denominador sempre terá de ser 1 a mais para que a fração seja própria. Ou seja, podemos testar:

$F = \dfrac{4}{5}$ ,   $F = \dfrac{5}{6}$ , ...

Onde chegamos a conclusão de que:

$\dfrac{8}{9} > \dfrac{7}{8} > \dfrac{6}{7} > \dfrac{5}{6} > ...$

Não podemos ter o numerador = 9, pois o denominador seria 10 e a pergunta diz que não pode. Então a fração que buscamos só pode ser:

$F = \dfrac{8}{9}$

Então, se somarmos 1 ao numerador e ao denominador de 8/9 temos:

$\dfrac{8+1}{9+1} = \dfrac{9}{10}$

A pergunta é: por qual fração eu preciso multiplicar 8/9 para ela virar 9/10? Então:

$\dfrac{8}{9} \cdot x = \dfrac{9}{10}$

$x = \dfrac{9\cdot 9}{10 \cdot 8} = \dfrac{81}{80}$