(por favor, ajudem - me!!!)
Na figura, a distância de M a A é o dobro da distância de M a B, e a medida de AN é a terça parte da medida de CN. Exprima X em função de A, AB, AC.
Soluções para a tarefa
Resposta: X = A + (3/5) · AB + (1/10) · AC.
Explicação passo a passo:
Sejam AN = v e MB = w vetores conhecidos. Nesta resolução, utilizaremos os vetores v e w como base para o plano, pois eles são linearmente independentes. (Ver foto em anexo)
Pelos dados do enunciado, segue que
AM = 2w (i)
NC = 3v (ii)
AB = AM + MB
⇒ AB = 2w + w
⇒ AB = 3w (iii)
AC = AN + NC
⇒ AC = v + 3v
⇒ AC = 4v (iv)
Do triângulo AMC, temos
AM + MC + CA = 0 (0 é o vetor nulo)
⇒ MC = − AM − CA
⇒ MC = − AM + AC
⇒ MC = − 2w + 4v (v)
Do triângulo ANB, temos
AN + NB + BA = 0 (0 é o vetor nulo)
⇒ NB = − AN − BA
⇒ NB = − AN + AB
⇒ NB = − v + 3w (vi)
Podemos escrever:
AX = AM + MX
Como MX é paralelo a MC, existe um h ∈ ℝ tal que MX = h · MC. Logo,
⇒ AX = AM + h · MC
⇒ AX = 2w + h · (− 2w + 4v)
⇒ AX = 2w − (2h)w + (4h)v
⇒ AX = (4h)v + (2 − 2h)w (vii)
Por outro lado, temos também
AX = AN + NX
Como NX é paralelo a NB, existe um k ∈ ℝ tal que NX = k · NB. Logo,
⇒ AX = AN + k · NB
⇒ AX = v + k · (− v + 3w)
⇒ AX = v − kv + (3k)w
⇒ AX = (1 − k)v + (3k)w (viii)
Por (vii) e (viii), igualando os coeficientes dos vetores v e w, chegamos ao sistema seguinte:
4h = 1 − k (ix)
2 − 2h = 3k (x)
Resolvendo o sistema das equações (ix) e (x) acima, obtemos
⇒ h = 1/10 e k = 3/5.
Portanto,
⇒ AX = (4h)v + (3k)w
⇒ AX = h · (4v) + k · (3w)
⇒ AX = (1/10) · (4v) + (3/5) · (3w)
Por (iii) e (iv), segue que
⇒ AX = (1/10) · AC + (3/5) · AB
Somando o ponto A a ambos os membros, finalmente chegamos a
⇒ A + AX = A + (1/10) · AC + (3/5) · AB
⇒ X = A + (3/5) · AB + (1/10) · AC ⟵ esta é a resposta.
Obs.: Não usei LaTeX nesta resposta, pois a notação vetorial consome muitos caracteres e poderia ultrapassar o limite de caracteres da plataforma.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos!
