Question

Por favor, ajudem ! Determine os extremos da função y = x².(3x-5)^1/3. Desde já agradeço.

Answer 1

Utilizando primeira derivada, temos seu seus extremos são em x=0 e em x=10/7.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte função:

$y=x^2.(3x-5)^{\frac{1}{3}}$

Para descobrirmos os extremos precisamos derivar e igualar a 0, e neste caso a derivada vai ser uma regra da cadeia, dentro de uma regra do produto, então vamos começar com regra do produto:

$y=x^2.(3x-5)^{\frac{1}{3}}$

$y'=(x^2)'.(3x-5)^{\frac{1}{3}}+x^2.[(3x-5)^{\frac{1}{3}}]'$

$y'=2x.(3x-5)^{\frac{1}{3}}+x^2.[(3x-5)^{\frac{1}{3}}]'$

Agora o segundo termo derivando é uma regra da cadeia:

$y'=2x.(3x-5)^{\frac{1}{3}}+x^2.[(3x-5)^{\frac{1}{3}}]'$

$y'=2x.(3x-5)^{\frac{1}{3}}+x^2.\frac{1}{3}.(3x-5)^{\frac{-2}{3}}.3$

Agora basta igualarmos esta derivada a 0:

$0=2x.(3x-5)^{\frac{1}{3}}+x^2.\frac{1}{3}.(3x-5)^{\frac{-2}{3}}.3$

De cara aqui já vemos que uma das raizes é x=0, pois se x assumir este valor, tudo da igual a 0, então vamos achar a proxima raiz:

$2x.(3x-5)^{\frac{1}{3}}=-x^2.\frac{1}{3}.(3x-5)^{\frac{-2}{3}}.3$

$2.(3x-5)^{\frac{1}{3}}=-x.(3x-5)^{\frac{-2}{3}}$

$2.(3x-5)^{\frac{1+2}{3}}=-x$

$2.(3x-5)^{1}=-x$

$2.(3x-5)=-x$

$6x-10=-x$

$7x=10$

$x=\frac{10}{7}$

Assim temos seu seus extremos são em x=0 e em x=10/7.