Question

Por definição, se uma função f não for contínua em um ponto...

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, podemos observar que a função dada é descontínua em $\bf x = 0$.

Explicação

Temos a seguinte função:

$f(x ) = \begin{cases} \frac{1}{x {}^{2} }, \: se \: x \neq 0 \\ 1, \: se \: x = 0 \end{cases}$

Para analisar a continuidade da função, devemos observar três fatores, que são:

• 1) A função deve ser definida no ponto em que a continuidade está sendo estudada;

$\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\boxed{\bf f(c) = a}$

• 2) Os limites laterais devem ser iguais, isto é, o limite bilateral deve existir;

$\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\bf \lim_{x\to a^+}f(x) = \lim_{x\to a^ - }f(x) }$

• 3) A função definida no ponto de estudo deve ser igual ao limite bilateral.

$\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\boxed{ \bf\lim_{x\to a}f(x) = f(c) }$

Sabendo destas três condições, vamos analisar cada uma delas, seguindo essa ordem acima.

• Análise das condições:

1) Como podemos ver, a função é sim definida no ponto em que a continuidade é estudada, uma vez que sabemos que quando $\bf x = 0$ $\bf f(x) = 1$. Então a função cumpre com a primeira condição.

2) Agora vamos analisar a os limites laterais da função. Como sabemos, o limite é uma ferramente que se aproxima de um valor sem chegar a ser ele, portanto, devemos usar a expressão da função que corresponde a isto, ou seja, a função definida para x≠ 0. Então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to 0 {}^{ + } } \frac{1}{x {}^{2} } = \lim_{x\to 0^ - } \frac{1}{x {}^{2} }$

Quando temos um valor divido por outro muito pequeno, o valor obtido tende para infinito ou infinito negativo, dependendo do sinal, portanto temos que $\bf \infty=\infty$. Não podemos dizer que os limites laterais são iguais, já que não temos a capacidade de afirmar que estes infinitos são iguais, isto é, um pode ser mais extenso e o outro mais reduzido.

• Se a função não cumpre um dos três requisitos, já podemos considerá-la descontínua. Então podemos dizer que em x = 0 ela não é contínua.

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Outra alternativa mais simples para analisar a continuidade, é basicamente analisar o domínio da função, onde o domínio não for definido, quer dizer que a função não é contínua nele.

$f(x) = \frac{1}{x {}^{2} } \: \to \: \: x {}^{2} \neq0 \: \to \: \boxed{ \bf x \neq0}$

Confirmamos mais uma vez que ela é descontínua em x = 0.

Espero ter ajudado

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