Question

pontos\:críticos\:f\left(x\right)=x^4+8x^3+18x^2-8

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{x=0~~~ou~~~x=-3}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos os pontos críticos desta função polinomial, utilizaremos derivadas.

Seja a função:

$f(x)=x^4+8x^3+18x^2-8$

Então, calculamos a derivada de primeira ordem desta função

$f'(x)=(x^4+8x^3+18x^2-8)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot g(x))'=a\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(x^4)'+(8x^3)'+(18x^2)'-(8)'$

Aplique a regra da constante

$f'(x)=(x^4)'+8\cdot(x^3)'+18\cdot(x^2)'-(8)'$

Calcule as derivadas da potência e da constante

$f'(x)=4x^3+8\cdot3x^2+18\cdot2x$

Multiplique os valores

$f'(x)=4x^3+24x^2+36x$

Então, igualamos a primeira derivada desta função a zero: assim, encontraremos seus pontos críticos, cujo comportamento da função muda (mais especificamente, cuja inclinação é zero).

$4x^3+24x^2+36x=0$

Fatore a equação

$4x(x^2+6x+9)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo:

$4x=0~~~\mathtt{ou}~~~x^2+6x+9=0$

Na primeira equação, divida ambos os lados por $4$ e fatore a segunda equação.

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~(x+3)^2=0$

Então, retire a raiz em ambos os lados da segunda equação

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~|x+3|=0$

Visto que o lado esquerdo da segunda equação é igual a zero, há apenas uma solução. Subtraia $3$ em ambos os lados da segunda equação:

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~x=-3$

Estes são os pontos críticos desta função.

Veja a imagem em anexo: temos em azul o gráfico da função $f(x)$ e em vermelho o gráfico de $f'(x)$. Observe o comportamento destes pontos em ambos os gráficos.