Question

ponto P ( 5, 2 ) pertence á circunferência de equação x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0. Determinar a equação da reta L, tangente á circunferência dada em P.

Answer 1

Vou explicar o que será feito:

1. Primeiro é preciso achar o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto P e pelo da circunferência;
2. Então, sabendo que toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que toca nela, a partir do coeficiente do passo anterior, calcula-se o coeficiente de uma reta perpendicular à ela;
3. Já sabendo o coeficiente da reta, basta jogar as coordenadas do ponto P na equação y = ax + b.

Primeiro vamos simplificar a equação da circunferência:

$x^2+y^2+2x-6y-27=0\rightarrow(x+1)^2+(y-3)^2=37$

Sendo o ponto C (-1, 3) o centro da circunferência, para calcular o coeficiente da reta que passa por C e P, utiliza-se a seguinte fórmula:

$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$a=\frac{3-2}{-1-5}$

$a=\frac{1}{-6}$

$a=-\frac{1}{6}$

Para não confundir vamos chamar essa primeira reta de "r".

Pegando o coeficiente da reta r, vamos calcular o coeficiente de outra reta perpendicular à ela, a qual chamaremos de "L", já que foi determinada pela questão. Sendo assim, a fórmula para isso é:

$a_r=\frac{1}{-a_L}$

$-\frac{1}{6}=\frac{1}{-a_L}$

$\frac{1}{-6}=\frac{1}{-a_L}$

$-6=-a_L}/tex] [tex]a_L=6$

Agora só é preciso usar esse coeficiente angular e o ponto P (5, 2)para então jogar na equação y = ax + b.

$2=6\cdot5+b$

$2=30+b$

$2-30=b$

$b=-28$

Juntando os valores de a e b, em seguida jogando de volta na equação:

$y=a\cdot x+b$

$y=6x-28$

Ai está a equação da reta.