Question

[POLINÔMIOS]


Seja P(x), um polinômio com coeficientes reais na indeterminada x: Se a divisão de P(x)) por x+1 tem resto 7 e a divisão de P(x) por x^2+4 tem quocient x^3+2 e resto R(x), tal que R(2) = 5, então quanto vale P(1)?


através disso, tenho que P(2) = 85, P(-1) = 7 e P'(1) = 26. Como prosseguir?

Answer 1

Fiz o seguinte

Através do enunciado temos que P(-1) = 7 e também que:

P(x) = (x^2 +4).(x^3 + 2) + R(x)

Substituindo P(-1) na equação

P(-1) = ((-1)^2 + 4). ((-1)^3 + 2) + R(-1)

7 = 5.1 + R(-1)

R(-1) = 2

Também temos a partir do enunciado que R(2) = 5

Como o divisor é um número de grau 2, o resto é um grau abaixo, logo, grau 1

Assim pode ser escrita como R(x) = ax + b

Substituindo os valores e resolvendo o sistema

5 = 2a + b

2 = -a + b

3 = 3a 5 = 2.1 + b

a = 1 b = 3

Logo, R(x) = x + 3

Agora voltando a primeira equação conseguimos descobrir P(x)

P(x) = (x^2 +4).(x^3 + 2) + (x + 3)

P(x) = x^5 + 2x^2 + 4x^3 + 8 + x + 3

P(x) = x^5 + 4x^3 + 2x^2 + x + 11

Fazendo P(1)

P(1) = 1 + 4 + 2 + 1 + 11

P(1) = 19