Question

POLINÔMIOS
Determine os valores de m, de modo que a equação x³-6x²-m²x+30=0 tenha duas de suas raízes somando um.

Answer 1

P(x) = x³ -6 * x² -m² * x + 30

Raízes : Quando P(x) = 0 !

Por Girard, temos a seguinte relação :

S = -b / a, onde :
S → Soma de todas as raízes;
b → Segundo coeficiente;
a → Primeiro coeficiente...

Pelo polinômio, temos :
b = -6;
a = 1...

S = - (-6) / 1
S = 6 / 1
S = 6 ⇒ Soma de todas as raízes ! 
Sendo um polinômio de terceiro grau, há três raízes. Chamarei-as de x1,x2 e x3.

Logo, S = x1 + x2 + x3 ⇒
x1 + x2 + x3 = 6

Pelo enunciado, também sabemos que duas de suas raízes somam um. Ou seja :
x1 + x2 = 1 (tanto faz ser x1, x2 ou x3).

Temos :
x1 + x2 + x3 = 6  
x1 + x2 = 1 ⇒ Substituindo esse valor na 1ª equação :

1 + x3 = 6 
x3 = 6 - 1
x3 = 5 ⇒ Essa é uma das três raízes ! (Como dito, tanto faz ser x1,x2 ou x3).

P(x) = x³ -6 * x² -m² * x + 30

Raiz ⇒ P(x) = 0 !

Logo, substituímos o valor da raiz encontrada e igualamos a zero :

0 = 5³ - 6 * 5² -m² * 5 + 30
0 = 125 - 6 * 25 - 5 * m² + 30
0 = 125 - 150 - 5 * m² + 30
0 = -25 + 30 - 5 * m²
0 = 5 - 5 * m²
5 * m² = 5
m² = 1
m = √1
m = +-1 ⇒ Valores possíveis para m !