Question

Pois Também por A Resposta

Resolva a equação: (n + 1)! = 72.
(n - 1)!

Answer 1

Resposta:

          n = 8

Explicação passo-a-passo:

Pois Também por A Resposta

Resolva a equação: (n + 1)! = 72.

(n - 1)!

                       $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} =72$

Desenvolvendo convenientemente o fatorial

                       $\frac{(n+1)(n)(n-1)!}{(n-1)!} =72$

Simplificando

                       (n + 1)(n) = 72

Efetuando e preparando equação

                      n^2 + n = 72

                      n^2 + n - 72 = 0

                      (n + 9)(n - 8) = 0

                             n + 9 = 0

                                           n1 = - 9

                             n - 8 = 0

                                            n2 = 8

Conceitualmente, o fatorial envolve só números inteiros positivos

Com esa base, resposta

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Análise Combinatória

Dada a equação :

$\iff \sf{ \dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}~=~ 72 }$

Vamos efectuar um pequeno desenvolvimento de modo a ter um fa[c]tor comum :

$\iff \sf{ \dfrac{(n+1)*n*\cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} ~=~72 }$

$\iff \sf{ (n+1)*n~=~72 }$

$\iff \sf{ n^2+n-72 ~=0 }$

$\iff \sf{ \Big( n+\dfrac{1}{2}\Big)^2~=~\dfrac{1}{4}+72 }$

$\iff \sf{ n+\dfrac{1}{2}~=~ \pm\sqrt{\dfrac{289}{4}} }$

$\iff \sf{ n~=~ \pm\dfrac{17}{2} - \dfrac{1}{2} }$

$\iff \sf{ n~=~-\dfrac{17}{2}-\dfrac{1}{2}~\vee~n~=~\dfrac{17}{2}-\dfrac{1}{2} }$

$\iff \boxed{\sf{ n'~=~9~\vee~n''~=~8 } }$

como $\sf{n\in\mathbb{N}}$ então $\boxed{\sf{\pink{ n~=~8 } } }$